4.9. Внецентренное растяжение - сжатие

При внедентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси и остается ей параллельной (рис. 4.56).

Рис. 4.56

Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты (см. рис. 4.56). Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты

Таким образом, внецентренное растяжение - сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внедентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и нормальная сила

В произвольной точке В с координатами х, у нормальное напряжение а определяется следующим выражением:

Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая и нулю:

Наибольшие напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке с координатами наиболее удаленной от нейтральной линии:

Рис. 4.57

При внецентренном растяжении - сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных по крайней мере одна из координат х, у, входящих в уравнение (4.31), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположной стороны центра тяжести через квадранты 2, 3 и 4 (рис. 4.57).

Расстояние от начала координат до некоторой прямой, уравнение которой

как известно из курса аналитической геометрии, равно

В данном случае (см. рис. 4.57)

Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

В пределе при когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. По мере того как точка приложения силы удаляется от центра тяжести, отрезок уменьшается и нейтральная линия, следовательно, приближается к центру тяжести.

Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.

Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных колонн. Кирпичная кладка плохо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего сечения сжимающими и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения. Для этого нужно внешнюю силу прикладывать достаточно близко к центру тяжести.

В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения. Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра.

Рассмотрим примеры.

Пример 4.14. Установить, который из стержней, показанных на рис. 4.58, способен выдержать большую нагрузку без признаков пластических деформаций.

В случае а сила Р для ослабленного сечения является нецентральной. Ее плечо относительно оси у равно Следовательно, наибольшее растягивающее напряжение

Рис. 4.58

Рис. 4.59

В случае сила Р является центральной и

Таким образом, в стержне, имеющем вырезы с двух сторон, напряжение будет меньше.

Пример 4.15. Определить размеры ядра сечения для стержня, имеющего круглое сечение радиусом (рис. 4.59).

По условиям симметрии ядро сечения также должно иметь форму круга. Пусть точка приложения силы находится на оси у, а нейтральная линия касается контура сечения (см. рис. 4.59). Тогда

Учитывая, что получим из формулы (4.31) радиус ядра

Пример 4.16. Определить ядро сечения для стержня, имеющего сечение в виде прямоугольника со сторонами и (рис. 4.60).

Сначала по формуле (4.32) определяем ординату точки Л пересечения контура ядра сечения с осью у. Когда след нормальной силы находится в точке А, нейтральная линия совпадает с нижним основанием прямоугольника, при этом Формула (4.32) дает

Когда равнодействующая сил переместится в точку В, расположенную на расстоянии от центра тяжести, нейтральная линия совпадет с

правой стороной прямоугольника. Симметрично точкам А и В располагаются точки А и В (см. рис. 4.60).

Теперь остается решить вопрос, по какой кривой от точки А к точке В будет перемещаться точка приложения силы Р, если нейтральная линия поворачивается вокруг правого нижнего угла сечения (см. рис. 4.60). Формула (4.30) выражает условие, при котором нормальное напряжение в некоторой точке сечения равно нулю.

Потребуем, чтобы в нижнем правом углу сечения, т.е. в точке с координатами напряжение равнялось нулю. Тогда, согласно уравнению (4.31), имеем

или

Рис. 4.60

Если координаты точки приложения силы удовлетворяют этому уравнению, то сила Р перемещается по прямой. В данном конкретном случае эта прямая проходит через точки А к В. Соединяя точки А, В, А и В прямыми, получаем ядро сечения в виде ромба.