13.7. Продольно-поперечный изгиб
Рассмотрим нагружение прямого шарнирно закрепленного стержня (рис. 13.22) продольной силой и системой поперечных
Рис. 13.22
сил. Такой вид нагружения принято называть продольнопоперечным изгибом.
При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент можно рассматривать как сумму момента поперечных сил 
и момента продольной силы 
При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент 
зависит в явном виде только от 
и не зависит ни от у, ни от продольной силы Р:
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид
откуда
где у - частное решение уравнения (13.46), зависящее от функции 
т.е. от вида поперечной нагрузки. Например, для двухопорного равномерно загруженного стержня (см. рис. 13.22) имеем
Тогда
и, следовательно,
Постоянные 
подбирают с таким расчетом, чтобы прогиб у при 
обращался в нуль.
В итоге
Изгибающий момент
Наибольший изгибающий момент имеет место при 
При малых значениях сжимающей силы Р (при малом к) это выражение после раскрытия неопределенности, как и следовало ожидать, принимает вид 
т. е. максимальный момент совпадает с тем, который дает поперечная распределенная сила 
По мере роста силы Р максимальный изгибающий момент резко возрастает.
При более сложных видах поперечной нагрузки, например при нескольких поперечных силах, определение изгибающих моментов описанным выше способом становится затруднительным, поскольку изгибающий момент на различных участках описывается различными функциями. В таких случаях удобнее применять приближенные, менее точные, но более простые приемы расчета. Один из таких весьма распространенных способов мы сейчас и рассмотрим.
Обратимся к выражению (13.45)
При отсутствии проддльной силы оно принимает вид
где индекс 
соответствует нагружению стержня только поперечными силами. Исключая 
получаем
Теперь примем, что форма упругой линии как при наличии продольных сил, так и без них близка к синусоиде:
Подставляем у и 
в уравнение (13.48). Тогда
откуда
В случае других способов закрепления стержня часто пользуются той же формулой (13.39), но подставляют другое значение критической силы.
Предполагая изгибающие моменты пропорциональными прогибам, можно написать
Проверим полученную формулу на примере рассмотренного выше стержня с равномерно распределенной нагрузкой 
Пусть 
. Тогда, согласно формуле (13.50), 
. Но поперечная нагрузка дает изгибающий момент 
Таким образом, в этом случае имеем 
Теперь посмотрим, что дает точная формула (13.47). Выражение для к, входящего в эту формулу, принимает при заданном значении Р следующий вид:
Тогда, согласно выражению (13.47),
Сопоставляя полученные значения Мтах, видим, что они практически совпадают.
Хуже обстоит дело при явно несимметричных видах распределения поперечных сил. Но в подобных случаях основное внимание следует уделять не уточнению расчетных формул, а поиску средств, с помощью которых можно было бы вообще избавиться от подобных видов нагружения.
