13.4. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

В пределах малых перемещений для стержня, шарнирно закрепленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволне синусоиды, и критическая сила

Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом - свободен (рис. 13.11), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длиной будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину . Таким образом, в рассматриваемом случае

Рис. 13.11

Рис. 13.12

Шарнирно закрепленный стержень, имеющий посредине опору (рис. 13.12), при потере устойчивости изогнется по двум полуволнам. Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имеющий длину 1/2. Поэтому

Обобщая полученные формулы, можно налисать общее выражение критической силы для сжатого стержня в виде

где - так называемый коэффициент приведения длины, - число полуволн.

Коэффициент - это число, покалывающее, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной в рассматриваемых условиях закрепления. Для стержня, защемленного на одном конце и свободного на другом, для стержня, приведенного на рис. 13.12, .

На рис. 13.13 показано несколько видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента приведения длины Во всех случаях значение у. определяют путем простого сопоставления упругой линии изогнутого стержня с длиной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении.

Рис. 13.13

Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы.

Пример 13.1. Определить критическую силу для стержня с двумя участками (рис. 13.14), если жесткость одного участка в четыре раза больше жесткости другого.

Рис. 13.14

Соответственно для первого и второго участков получаем уравнения

Обозначаем - Тогда

откуда

Из условия, что при прогиб получаем

Далее, имеем еще три у слови: при перемещения при прогиб Соответственно записываем три уравнения:

Приравниваем нулю определитель этой системы

и получаем два уравнения: Наименьших отличный от нуля корень находим из условия Тогда

Пример 13.2. Определить критическую силу для шарнирно закрепленного стержня, нагруженного продольной силой посередине (рис. 13.15).

Рис. 13.15

Здесь для первого и второго участков имеем

или

откуда

При прогиб Следовательно, При перемещения а при прогиб Таким образом, получаем следующие четыре уравнения:

Приравниваем нулю определитель этой системы, рассматривая как неизвестные:

Тогда

Наименьший корень этого уравнения Тогда

Пример 13.3. Определить критическую силу для защемленного стрежня, к свободному концу которого передается через жесткий шатун длиной а сила Р (рис. 13.16).

Рис. 13.16

Отбрасываем жесткий шатун и прикладываем к упругому стержню продольную силу и поперечную силу Тогда

или

откуда

Далее, имеем граничные условия: при а при

Таким образом, получаем три уравнения:

Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к следующему трансцендентному уравнению:

из которого находим критическую силу в зависимости от отношения

Последний пример заслуживает дополнительного обсуждения.

Упругий стержень нагружен сжимающей силой, но она передается через жесткий шатун и при отклонении стержня меняет направление линии своего действия. Поэтому критическая сила зависит от длины шатуна. Выясняется, что устойчивость определяется не только условиями закрепления стержня, и самой силой, но и ее поведением при малых возмущениях.

Если никаких оговорок о поведении силы не делают, то считают, что при отклонении стержня сила Р (рис. 13.17, а) сохраняет направление вертикали. Но, вообще говоря, об устойчивости стержня, показанного на рис. 13.17, а, ничего сказать нельзя, пока не задан характер поведения приложенных сил. А возможностей здесь много. В частности, на рис. 13.17, б - г показаны примеры одинаково, казалось бы, нагруженных стержней, имеющих, однако, различные значения критических сил.

Рис. 13.17

При решении примеров 13.1-13.3 использовали уравнения второго порядка. Это традиционный алгоритм решения задач устойчивости прямолинейных стержней. Однако этот алгоритм не всегда эффективен при решении задач с более сложными граничными условиями, чем шарнирное закрепление (см. например, последний случай, показанный на рис. 13.13). Для этого случая из рассмотрения формы осевой линии стержня после потери устойчивости был определен коэффициент приведения длины Значение получено не из решения уравнении равновесия стержня, а из геометрических особенностей предполагаемой формы осевой линии после потери устойчивости, поэтому его следует рассматривать как приближенное.

Рассмотрим общий метод определения критических нагрузок для прямолинейного стержня. В § ВЗ были получены векторные уравнения равновесия стержня При малых отклонениях прямолинейного стержня, полагая и

имеем

Ограничемся случаем, когда после потери устойчивости осевая линия стержня есть плоская кривая. Это имеет место только тогда, когда при потере устойчивости не возникают крутящие моменты.

В рассматриваемом частном случае входящие в уравнения равновесия векторы в декартовых осях равны

При потере устойчивости возможно появление распределенных сил зависящих от прогибов стержня. Например, после потери устойчивости сжатого стержня, связанного с упругим основанием (см. рис. 4.47), при двухсторонней связи стержня с упругим основанием возникнут распределенные силы (см. § 4.7).

Из уравнений равновесия в проекциях на декартовые оси получаем

К полученным выражениям следует добавить еще два уравнения (см. § 4.6)

где - наименьшая изгибная жесткость, которая в общем случае зависит от

Из первого уравнения системы (13.14) находим осевую силу

где С - произвольная постоянная, определяемая из конкретных условий нагружения. Например, если стержень сжимается только силой (см. рис. 13.1), то Если учитывать собственный вес стержня и силу Р, то осевая сила

При , поэтому

В результате систему уравнений, из которых можно определить критическое значение сосредоточенной силы Р и распределенной силы для общего случая, когда при потере устойчивости появляются силы

где

Для стержня, лежащего на упругом основании с линейной характеристикой Систему уравнений можно привести к одному уравнению относительно перемещения у, последовательно исключая :

Полученное уравнение позволяет определять критические нагрузки (сосредоточенные и распределенные) для наиболее общего случая, когда изгибная жесткость стержня переменна по его длине. При изгибе прямолинейного стержня в плоскости (см. систему уравнений (13.15)) при малых отклонениях точек осевой линии стержня всегда имеются четыре граничных условия (по два на каждом конце стержня). Поэтому решение уравнения равновесия стержня должно содержать четыре произвольные постоянные.

Рассмотрим частный случай уравнения (13.16), когда жесткость стержня постоянна и он нагружен сосредоточенной сжимающей силой Р (упругого основания нет, т.е. Из (13.16) получаем

Интегрируя два раза это уравнение, находим

Общее решение уравнения (13.17) имеет вид

Чтобы получить уравнение для определения критической силы, входящей в коэффициент к, это решение должно удовлетворять четырем однородным граничным условиям. Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы с использованием решения (13.19) уравнения (13.17).

Пример 13.4. Определить критическую силу для шестого случая закрепления концов стержня, показанного на рис. 13.13. Граничные условия имеют следующий вид: при при

Из граничных условий при имеем

Получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно Для существования нетривиального решения этой системы необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.

Раскрыв определитель, получаем

Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения

Так как то критическое значение силы

что соответствует значению коэффициента т. е. приближенное значение и точное в данном примере совпали.

Пример 13.5. Определить критическую силу для последнего случая закрепления стержня, показанного на рис. 13.13. Граничные условия имеют вид: при при

Из граничных условий при получаем

Приравняв определитель системы уравнений (13.23) нулю:

после преобразований получаем уравнение для вычисления критической силы:

Численное решение полученного уравнения дает наименьший корень Так как то после преобразований находим уточненное значение коэффициента что незначительно отличается от приближенного значения, равного 0, 666.

Если стержень имеет переменную изгибную жесткость или нагружен распределенной осевой нагрузкой, то получить аналитическое решение для системы (13.16) нельзя. В этом случае для определения критической силы используют численные методы.

Представим систему уравнений (13.15) при в виде векторного уравнения, введя вектор состояния системы Z:

где

Воспользовавшись методом начальных параметров (см. § 4.6), получаем фундаментальную матрицу решений (задавшись числовым значением при известном и находим решение

Например, для третьего случая закрепления, показанного на рис. 13.13, компоненты вектора Z должны удовлетворять следующим граничным условиям: при при

Поэтому а для определения получаем два однородных алгебраических уравнения

Для существования нетривиального решения необходимо

Конечно, при первом приближении определитель в нуль не обращается, поэтому решения проводят для ряда Наименьшее значение при котором является критическим значением сжимающей силы Р.

В настоящее время при широком распростронении вычислительной техники и внедрении ее в учебный процесс изложенный вариант численного определения критической силы является наиболее эффективным.