5.3. Интеграл Мора

Определение перемещений при помощи теоремы Кастилиано, как можно было убедиться на примерах, обладает тем очевидным недостатком, что дает возможность найти перемещения только точек приложения внешних сил и только в

направлении этих сил. На практике же возникает необходимость определять перемещения любых точек системы в любом направлении.

Выход из указанного затруднения оказывается довольно простым. Если необходимо найти перемещение точки, к которой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф. Дифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматриваемой точки по направлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение.

Определим перемещение точки А в направлении оси для стержневой системы, показанной на рис. 5.12.

Рис. 5.12

Приложим в точке А по направлению силу Ф. Внутренние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид

где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а второе слагаемое - дополнительный момент, который появляется в результате приложения силы Ф. Понятно, что и являются функциями т. е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов: и т. д.

Совершенно очевидно, что дополнительные силовые факторы пропорциональны Ф. Если силу Ф, например, удвоить, удвоятся соответственно и дополнительные силовые факторы. Следовательно,

где - некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине стержня.

Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то Следовательно, суть не что иное, как внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рассматриваемой точке в заданном направлении.

Вернемся к выражению энергии (5.3) и заменим в нем внутренние силовые факторы их значениями (5.7). Тогда

Дифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого находим перемещение точки А:

Полученные интегралы носят название интегралов Мора.

Заметим, что интегралы Мора могут быть выведены и без использования теоремы Кастилиано из простых геометрических соображении. Рассмотрим, например, консоль, показанную на рис. 5.13, и определим перемещение точки А по направлению Будем считать для простоты, что искомое перемещение является следствием только изгиба.

Рис. 5.13

На элементарном участке длиной произойдет изменение кривизны, и правое сечение повернется относительно левого на

где - новая, - старая кривизна.

Вследствие возникновения местного угла поворота правая часть повернется как жесткое целое, и точка А переместится по направлению на Но Следовательно, Отрезок ОВ представляет собой не что иное, как момент относительно точки О единичной силы, приложенной в точке А по направлению Таким образом, или

откуда

Аналогично можно составить выражения перемещений для кручения, растяжения и сдвига. В общем случае

Выражение (5.9) является более универсальным, чем выражение (5.8), поскольку в нем не предполагается линейной зависимости от внутренних силовых факторов. Оно применимо, в частности, и для случая неупругого изгиба и кручения.

Если материал подчиняется закону Гука, то

и тогда выражение (5.9) переходит в (5.8).

Пример 5.4. Определить горизонтальное перемещение точки А консоли, показанной на рис. 5.14, а. Жесткость всех участков постоянна к равна

Рис. 5.14

В рассматриваемом стержне основную роль играют изгибные перемещения. Перемещения вследствие растяжения и сдвига так же малы по сравнению с перемещениями изгиба, как и энергия растяжения и сдвига

по сравнению с энергией изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора берем один - для изгиба -

(изгиб во второй плоскости и кручение отсутствуют).

Изгибающий момент силы Р на участке АВ равен нулю. На участке а на участке

Момент от единичной силы на участке равен нулю, а на участке Знак минус поставлен в связи с тем, что единичный изгибающий момент направлен в сторону, противоположную

Произведение на участке оказывается равным нулю. Поэтому интегрирование ведем только на участке Заменяя на получаем

откуда

Знак минус указывает на то, что горизонтальное перемещение точки А направлено не по единичной силе, а против нее, т.е. влево (рис. 5.14, б).

Пример 5.5. Определить, насколько раскроется зазор в разрезанном кольце (рис. 5.15) под действием сил Р. Жесткость кольца равна

Рис. 5.15

В точке В (см. рис. 5.15) изгибающий момент от заданных сил Р равен где - центральный угол. Полагая левый конец кольца закрепленным, прикладываем к правому единичную силу, с тем чтобы найти перемещение одного конца относительно другого (рис. 5.16, а). Реакция опоры будет равна единице, поэтому оба рисунка рис. 5.16, a и b, равноценны. Из сказанного, между прочим, следует, что вообще, когда нужно найти взаимное смещение двух точек, следует прикладывать в этих точках равные, противоположно направленные единичные силы, действующие по прямой, соединяющей эти точки. Момент от единичной силы Искомое

Рис. 5.16

взаимное смещение

Пример 5.6. Определить взаимное смешение точек А в таком же кольце (см. предыдущий пример), но нагруженном силами, действующими перпендикулярно плоскости кольца (рис. 5.17, а).

Рис. 5.17

Рассмотрим кольцо в плане (рис. 5.17, 6). В сечении В возникает не только изгибающий, но и крутящий момент. Первый равен моменту силы Р относительно оси у, а второй - моменту той же силы относительно оси (см. рис. 5.17, б). Очевидно, Прикладываем в точках А единичные силы взамен сил Р. Тогда Обращаясь к выражению (5.8), оставляем в нем два первых интеграла и получаем

или

Здесь искомое перемещение определяете жесткостью кольца как на кручение, так и на изгиб.

Из рассмотренных примеров видно, что при определении перемещений для стержня, изогнутого по дуге окружности, приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях. В табл. 5.1 даны наиболее часто встречающиеся при решении подобных задач интегралы.