5.5. Определение перемещений и напряжений в витых пружинах

Витые пружины принадлежат к числу наиболее распро страненных упругих элементов машиностроения. Их применяют в самых различных конструкциях в качестве аккумуляторов упругой энергии амортизирующих, возвратно-подающих и многих других механических устройств.

Вопросы расчета и проектирования витых пружин относятся к курсам деталей машин и приборов. Однако в силу установившихся традиций основные расчетные формулы выводят обычно в курсе сопротивления материалов, поскольку примеры расчета пружин дают наглядную иллюстрацию методов определения перемещений.

Витую пружину можно рассматривать как пространственно-изогнутый стержень, осевая линия которого в простейшем случае представляет собой винтовую линию. Геометрическая форма осевой линии определяется диаметром витка числом витков и углом подъема а (см. развертку на рис. 5.24). Подъем витка можно характеризовать также шагом пружины з:

Для всех встречающихся на практике пружин шаг а много меньше и угол а следовательно, можно считать малым. Обычно Свойства пружин зависят также от формы поперечного сечения витка. Как правило, пружины навивают из круглой проволоки. Обозначим диаметр сечения проволоки через (рис. 5.24).

Рис. 5.24

Рис. 5.25

В зависимости от вида воспринимаемых рабочих нагрузок витые пружины подразделяют на пружины растяжения (рис. 5.25, а), пружины сжатия (рис. 5.25, 6) и пружины кручения (рис. 5.25, в). В первых двух случаях пружина нагружается силами, равнодействующая которых направлена вдоль ее оси. Пружина кручения нагружена двумя моментами в плоскости, перпендикулярной оси пружины.

Конструктивной особенностью пружин перечисленных типов является отделка концов. Концевые витки пружины растяжения и кручения отгибают с таким расчетом, чтобы могло

быть осуществлено ее крепление к смежным деталям. У пружины сжатия крайние витки поджимают и сошлифовывают с торцов, чем обеспечивается создание опорных плоскостей. При определении перемещений и напряжений, однако, указанные особенности пружин обычно не учитываются и концевые витки из рассмотрения исключаются.

Рис. 5.26

Определим зависимость изменения высоты пружины растяжения - сжатия от осевой силы Р. В любом поперечном сечении витка пружины растяжения возникает результирующая внутренняя сила Р (рис. 5.26, а) и момент Полная сила в сечении параллельна оси пружины, а плоскость момента М совпадает с плоскостью пары сил Р. Нормальное поперечное сечение витка повернуто по отношению к этой плоскости на угол а. Раскладывая момент и силу на составляющие относительно осей, связанных с сечением (рис. 5.26, б), находим

Для того чтобы определить осевое перемещение А, прикладываем к концам пружины единичные силы и находим возникающие при этом внутренние силовые факторы. Последние,

очевидно, определяются выражениями (5.11), уменьшенными в Р раз:

Для определения перемещений в цилиндрической пружине необходимо, следовательно, написать четыре интеграла Мора из шести (см. формулу (5.8)). Однако перемещения, обусловленные нормальной и поперечной силами, как и для всякого стержня, малы, а вследствие малости угла а малым будет и осевоеперемещение, связанное с изпбом витков. Поэтому

где - жесткость витка на кручение. Полагая получим где I - полная длина рабочей части витков, равная Таким образом,

При определении для пружины растяжения отогнутая часть витков на ее концах во внимание не принимается. Для пружины сжатия из полного числа витков следует исключить примерно по 3/4 витка с каждого торца, поскольку эти витки поджаты при навивке к соседним и свободно деформироваться не могут. Таким образом, предполагается, что 1,5 витка в работе не участвуют.

Если пружина навита из круглой проволоки, то и тогда формула (5.12) принимает вид

Поскольку витки пружины растяжения - сжатия работают в основном на кручение, имеем

В случае кругового поперечного сечения

Переходя к пружинам кручения, заметим, что при их расчете наибольший интерес представляет определение углового перемещения одного конца относительно другого.

Рис. 5.27

В поперечных сечениях витка пружины кручения возникает полный момент (рис. 5.27). Раскладывая его по осям, находим . После приложения к концам пружины единичных моментов получим

Вследствие малости угла а пренебрегаем перемещением, связанным с кручением витков, а полагаем равным единице. Тогда

или

Наибольшее напряжение изгиба

Задачи, возникающие при расчете витых пружин, далеко не исчерпываются изложенным. В случае, когда диаметр проволоки соизмерим с диаметром витка возникает необходимость введения поправок на большую кривизну. В некоторых случаях бывает необходимо определить так называемые вторичные перемещения, например изменения диаметра или числа витков пружины растяжения. В ряде случаев представляет интерес создание пружин с нелинейной зависимостью осадки Л от силы Р. Это достигается тем, что часть витков в результате осадки пружины последовательно выключается из работы. Встречаются задачи, связанные с расчетом нецилиндрических пружин, и многие другие. Все они, однако, выходят за рамки курса сопротивления материалов и здесь не рассматриваются.