Глава 13. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

13.1. Понятие об устойчивости

В предыдущих главах мы считали, что при статическом нагружении упругих элементов конструкций их состояние равновесия является единственным при любых нагрузках (имеются в виду нагрузки, при которых возникающие напряжения и деформации подчиняются закону Гука).

Например, в гл. 1, где были рассмотрены стержни, нагруженные осевыми силами, предполагалось, что состояние равновесия стержня и при растягивающей, и при сжимающей силе одно и то же. Однако в общем случае может быть несколько состояний равновесия стержня. Поэтому при расчетах необходимо выяснить какие из возможных состояний равновесия являются устойчивыми, а какие неустойчивыми.

Под устойчивостью мы интуитивно понимаем свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях. Если система таким свойством не обладает, она называется неустойчивой. В равной мере можно сказать, что неустойчивым является ее состояние.

В реальных условиях всегда существуют какие-то причины, по которым может произойти отклонение от исходного равновесного состояния. Следовательно, возможность перехода к новому состоянию в неустойчивой системе всегда реализуется. В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости.

Система при потере устойчивости может вести себя по-разному. Обычно происходит переход к некоторому новому положению равновесия, что в большинстве случаев сопровождается большими перемещениями, возникновением пластических деформаций или полным разрушением. В некоторых случаях при потере устойчивости конструкция продолжает работать и выполняет по-прежнему свои основные функции, как, например, тонкостенная обшивка в самолетных конструкциях. Возможны, наконец, и такие случаи, когда потерявшая устойчивость система, не обладая устойчивыми положениями равновесия, переходит в режим незатухающих колебаний.

Явление потери устойчивости для упругих тел можно наблюдать на целом ряде примеров.

Наиболее простым случаем является потеря устойчивости центрально-сжатого стержня (рис. 13.1). При некоторой силе Р прямолинейная форма становится неустойчивой и стержень переходит в новое устойчивое состояние равновесия, показанное на рис. 13.1 штриховыми линиями.

Рис. 13.1

Рис. 13.2

Тонкостенная труба (рис. 13.2), нагруженная внешним давлением, способна потерять устойчивость. При этом круговая форма сечения переходит в эллиптическую, а затем труба

полностью сплющивается, хотя напряжения к моменту потери устойчивости далеко не достигают предела текучести.

Та же труба может потерять устойчивость и при осевом сжатии (рис. 13.3). Аналогичное явление имеет место и при закручивании трубы (рис. 13.4).

Рис. 13.3 (см. скан)

Рис. 13.4 (см. скан)

Подобных примеров можно привести очень много. Обобщая сказанное, следует отметить, что наиболее ярко явление потери устойчивости проявляется в легких тонкостенных конструкциях: в сжатых стержнях, оболочках и тонких стенках. Поэтому при проектировании подобных конструкций одновременно с расчетом на прочность проводят и расчет на устойчивость как отдельных узлов, так и системы в целом.

Одной из мер повышения запаса устойчивости системы является увеличение ее жесткости. Так, в практике самолетостроения тонкостенные перегородки подкрепляют специальными профилями. Такая подкрепленная стенка имеет высокую степень устойчивости при сравнительно малом весе.

Для анализа устойчивости необходимо выбрать расчетную схему и соответствующую ей математическую модель.

Основной, ставшей уже классической, является следующая. Система предполагается идеальной, т.е. если речь идет о сжатом стержне, ось его строго прямолинейна, силы приложены центрально. Если рассматривают цилиндрическую оболочку, то также считают, что она имеет совершенную форму и нагрузка не отступает от предписанных законов распределения.

Идеальной системе сообщают отклонение от положения равновесия. При этом рассматривают отклонения, которые не только являются малыми, но и могут быть меньше любой наперед заданной малой величины. Если после устранения причин, вызвавших отклонение, система возвращается в исходное состояние равновесия, то последнее считается устойчивым, если же нет, то положение равновесия считается неустойчивым. Силы инерции, возникающие при деформациях системы не учитывают.

Такая расчетная схема позволяет рассчитывать систему на устойчивость и определять условия перехода от устойчивого состояния к неустойчивому. Параметры, характеризующие такой переход, называются критическими. В частности, обобщенная сила, превышение которой приводит к переходу от устойчивого равновесия к неустойчивому, называется критической силой.

При расчете на устойчивость рабочую нагрузку назначают как долю критической. При этом под понимают коэффициент запаса устойчивости, значение которого, как и при расчетах на прочность, назначают в зависимости от конкретных обстоятельств, связанных со спецификой технологии, с условиями эксплуатации, а также со степенью ответственности конструкции. Естественно, что расчет на устойчивость по коэффициенту запаса не исключает, а даже предполагает необходимость одновременной проверки конструкции по условиям прочности.