11.2. Напряжения и перемещения в простейших стержневых системах при наличии пластических деформаций

Рассмотрим несколько задач, на примере которых можно увидеть основные особенности поведения систем при пластических деформациях. Наиболее просто решаются эти вопросы для стержневых систем.

Пример 11.1. Определить абсолютное удлинение, возникающее под действием собственного веса, свободно висящей проволоки длиной из отожженной меди, диаграмма растяжения которой приведена на рис. 11.7. Зависимость удлинения с от напряжения а может быть представлена степенной функцией Константы А и заданы.

Рис. 11.7

На расстоянии от конца проволоки , где у - плотность меди. Деформация

Искомое абсолютное удлинение определим путем интегрирования этого выражения по длине проволоки:

Пример 11.2. Определить усилия в стержнях и перемещение узла А (рис. 11.8, а) в зависимости от силы Р. Найти также остаточные напряжения, которые возникают в системе после ее нагружения силой Р и последующей разгрузки. Диаграмма растяжения материала обладает участком идеальной пластичности (рис. 11.8, б).

Рис. 11.8

При малых значениях силы Р во всех стержнях системы возникают упругие деформации. Усилия в стержнях определяются обычными методами раскрытия статической неопределимости. Поскольку такую задачу мы уже рассматривали ранее (см. пример 1.5), выпишем значения усилий в стержнях без вывода:

- нормальная сила в крайнем стержне; - то же в среднем. Перемещение точки А равно удлинению среднего стержня, т.е.

Эти зависимости сохраняются до тех пор, пока в среднем стержне, в котором нормальная сила больше, чем в крайних, не возникнут пластические деформации. Это произойдет при

или при

Далее напряжение в среднем стержне остается неизменным, равным . Сила также не меняется. И равна Усилия в боковых стержнях определяются в этом случае из условия равновесия узла (рис. 11.9).

Рис. 11.9

Система, таким образом, из статически неопределимой превращается в статически определимую:

Перемещение точки А (см. рис. 11.9) равно или

Далее и в боковых стержнях напряжения становятся равными пределу текучести. Из выражения (11.3) следует, что это произойдет при

В этом случае система превращается в механизм, поскольку при дальнейшем возрастании силы условие равновесия для системы не соблюдается. В каждом из стержней нормальная сила, судя по диаграмме растяжения, не может быть больше, чем а вертикальная составляющая трех сил равна и остается постоянной.

Таким образом, к системе не может быть приложена сила, ббльшая указанной. Эту силу для данной системы следует рассматривать как предельную. В некоторых случаях ее именуют также разрушающей нагрузкой. Понятно, что название “разрушающая нагрузка” не отражает полностью существа явления. Если действительная диаграмма растяжения при увеличенных значениях с имеет участок упрочнения, то возможно, что сила Р, ббльшая предельной, окажется в дальнейшем уравновешенной внутренними силами. Однако это произойдет при весьма заметных перемещениях и столь сильных изменениях геометрической формы системы, что последнюю в этих условиях можно рассматривать как разрушившуюся.

На рис. 11.10 показано изменение усилий и а также и перемещения в зависимости от силы Р.

Рис. 11.10

Теперь рассмотрим вопрос об остаточных напряжениях, возникающих в системе после разгрузки. Понятно, что при этом имеется в виду нагружение системы такими силами, при которых в среднем стержне

возникают пластические деформации, иначе при чисто упругих деформациях остаточных напряжений не будет. Однако нагрузка при этом должна оставаться меньше предельной.

Процесс разгрузки эквивалентен приложению внешней силы, равной силе нагрузки, но обратной ей по знаку. Следовательно, остаточные напряжения в системе можно рассматривать как алгебраическую сумму напряжений, возникающих в результате последовательного приложения сил нагрузки и противоположных и равных им сил разгрузки.

Вследствие того что принцип независимости действия сил в данном случае неприменим, приложение сил нагрузки и разгрузки должно быть только в прямой последовательности (рис. 11.11).

Рис. 11.11

Деформация при разгрузке происходит упруго, и материал следует при этом закону Гука. Поэтому в процессе разгрузки в стержнях будут возникать усилия, определяемые выражениями (11.1). При нагрузке же усилия определяются выражениями (11.2) и (11.3). Таким образом, остаточные усилия, возникающие в стержнях, будут

В этих выражениях под Р понимается сила, до которой происходило нагружение. Ее значение находится в пределах, ограниченных нагрузкой, соответствующей началу образования пластических деформаций, с одной стороны, и значением предельной нагрузки - с другой:

Остаточные напряжения являются самоуравновешенными, т.е. узел стержней (рис. 11.12) при отсутствии внешних сил должен находиться в равновесии:

Подставляя сюда значения легко убедиться, что полученные выражения для сил удовлетворяют этому условию.

Рис. 11.12

На рис. 11.12 показан график изменения остаточных сил в зависимости от нагружающей силы Р. В среднем стержне сила ост является сжимающей. В боковых стержнях остаточные силы - растягивающие.

При повторном нагружении система деформируется упруго до тех пор, пока сила вторичного нагружения не станет равной силе первоначального нагружения. Если систему нагружать дальше, в стержнях возникнут пластические деформации, изменяющиеся по установленным выше законам первоначального нагружения.

Пример 11.3. Проанализировать работу ступенчатого стержня (рис. 11.13, а), у которого при нагружении его силой Р.

Рис. 11.13

Диаграмма растяжения схематизируется двумя прямыми (рис. 11.13, б), уравнения которых следующие:

Диаграмма сжатия предполагается совпадающей с диаграммой растяжения.

На первом этапе нагружения, когда материал следует закону Гука, усилия в нижнем и верхнем участках легко определить обычными приемами раскрытия статической неопределимости. Так как

а удлинения на участках АВ и одинаковы:

то

Перемещение сечения А будет следующим:

Эти соотношения будут справедливы до тех пор, пока напряжение на нижнем участке не достигнет значения при

На втором этапе нагружения нижний участок деформируется пластически, а верхний - упруго. Уравнение (11.5) остается неизменным, а уравнение (11-6) с учетом выражения (11.4) принимает вид

Тогда взамен уравнения (11.6) получим

Решая это уравнение совместно с (11.5), находим

Перемещение сечения

Из первого выражения (11.8) определяем силу, при которой напряжение в верхнем участке достигнет предела текучести,

На третьем этапе нагружения имеем или, согласно выражению (11.7),

Решаем это уравнение совместно с уравнением (11.5), подучаем

Перемещение точки А на третьем этапе нагружения будет

Зависимость усилий и перемещения от силы Р представлена на рис. 11.14. На этом же графике показано и остаточное усилие Рост в стержне, получающееся после разгрузки. Оно будет одинаковым для обоих участков и определяется путем вычитания из усилия (см. формулы или (115)) усилия “упругой” разгрузки, равного

Рис. 11.14