Главная > Сопротивление материалов (Феодосьев В.И.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемещения при изгибе

Форму изогнутой оси стержня или, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения (4.5). В неподвижной системе координат (рис. 4.44)

Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений. Тогда тангенс угла в между касательной к упругой линии и осью z (см. рис. 4.44) весьма мал. Поэтому квадратом величины у по сравнению с единицей можно пренебречь и принять

откуда

Рис. 4.44

Сопоставляя выражение (4.17) с формулами (4.1), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений:

Для стержня с постоянным сечением имеем

Соотношения (4.18) можно представить как систему из четырех линейных уравнений первого порядка

где - отклонение точек осевой линии стержня от ее положения в недеформированном состоянии. При изгибе прямолинейных стержней но при изгибе криволинейных стержней . Угол поворота сечения Первые два уравнения являются частным случаем уравнений

Систему уравнений (4.20) можно представить в более компактной форме записи:

где - вектор, характеризующий напряженно-деформированное состояние стержня; .

Матрица равна

Решение системы уравнений (4.20) или уравнения (4.21) содержит четыре произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Например, для стержня, показанного на рис. 4.44 имеем: Для стержня с переменным сечением и переменной по z распределенной нагрузкой определить напряженно-деформированное состояние (т.е. найти перерезывающую силу изгибающий момент угол и перемещение ) проще всего численными методами решения систем дифференциальных уравнений [9].

Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений - метод начальных параметров. Изложенный ниже метод справедлив не только для стержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случал нагружения, когда распределенная нагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуют сосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.II)

В курсе высшей математики, в разделе, посвященном системах линейных дифференциальных уравнений с переменными и постоянными коэффициентами, показано, что общее решение неоднородного уравнения (4.21) имеем вид

где - фундаментальная матрица решений однородного уравнения (4.18), С - вектор произвольных постоянных, - частное решение неоднородного уравнения (4.21). Матрицу можно получить из однородного уравнения

решая его четыре раза при следующих начальных условиях:

Каждое из решений удовлетворяющее этим начальным условиям, есть столбец матрицы поэтому матрица при является единичной. Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектора находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все из краевых условий при нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем - двухточечными краевыми.

Например, для случая, показанного на рис. 4.44, имеем при

т. е. Оставшиеся две произвольные постоянные с и находим из краевых условий при

Так как при должны выполняться два условия: то получаем систему из двух уравнений для определения

Определив находим решение уравнения (4.21), или системы (4.20). При использовании для исследования статического напряженно-деформированного состояния прямолинейного стержня системы из четырех уравнений первого порядка отпадает необходимость делить задачи на статически определимые и статически неопределимые, что приходится делать при решении уравнений второго порядка.

Понятно, что написанные выше соотношения (4.18) и (4.20) являются точными в той мере, в какой перемещения можно считать малыми. Подавляющее большинство задач, связанных с расчетами прямолинейных стержней на прочность и жесткость при изгибе, решают в указанном предположении, причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина отброшенная в выражении (4.16), действительно мала.

В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях. Такого рода задачи встречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов.

Если система способна при больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимо от того, идет ли речь об изгибе, кручении или растяжении. При изгибе предельные упругие перемещения определяются не

только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскости изгиба.

Наибольшее относительное удлинение при изгибе, согласно формуле (4.2), равно

а напряжение -

Значительные перемещения стержень сможет получить при условии большого изменения кривизны Но при напряжениях, не превышающих предел упругости, это возможно только при достаточно малом т. е. при малой высоте сечения. Гибкий стержень имеет поэтому обычно форму тонкой ленты или тонкой проволоки и часто называется тонким гибким стержнем.

Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня имеет вид

Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член в знаменателе. Для гибкого стержня в выражении для М нужно обязательно учитывать перемещения, возникающие в стержне. Указанную особенность гибких стержней наглядно иллюстрирует пример консоли (см. рис. 4.44). Видно, что с ростом прогибов вертикальная сила Р получает горизонтальное смещение. В результате этого изгибающий момент в каждой точке стержня изменяется на некоторую величину, зависящую как от местного горизонтального смещения, так и от горизонтального смещения точки приложения силы Р.

Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяет так называемая теория гибких стержней, которая выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается.

Приведем некоторые примеры определения формы упругой линии изогнутого стержня при малых перемещениях.

Пример 4.9. Составить уравнение упругой линии консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 4.45).

Рис. 4.45

Поместим начало координат х, у в заделке. Изгибающий момент в сечении, расположенном на растоянии z от заделки, равен Подставив это выражение в (4.17) и дважды проинтегрировав полученное уравнение, найдем

где - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. В данном случае при имеем откуда Тогда

Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.е. при и равен

Пример 4.10. Двухопорный стержень длиной нагружен силой Р, расположенной на расстоянии а от левой опоры (рис. 4.46). Составить уравнение упругой линии и найти перемещение точки приложения силы.

Рис. 4.46

Начало координат располагаем на левой опоре. Запишем изгибающие моменты на первом и втором участках стержня:

После подстановки этих выражений в (4.17) и двукратного интегрирования полученных уравнений находим

Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня и условий непрерывности при переходе с первого участка на второй: при при при Из этих условий находим После преобразований получим

В точке приложения силы Р имеем Если сила приложена посередине пролета, то

Координата у точки приложения силы после изгиба стержня оказывается отрицательной. Стержень прогибается а сторону, противоположную положительному направлению оси

Из рассмотренных примеров видно, что для стержня, имеющего несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если стержнь имеет участков, необходимо совместно решить уравнений для определения постоянных интегрирования. Естественно, еще более громоздкими будут выкладки для стержня переменной жесткости.

В свое время на преодоление этих трудностей было затрачено много усилий. Но, как всегда, с годами поиска вырабатывается что-то наиболее простое и целесообразное. История науки, изучающей сопротивление материалов, в этом смысле достаточно поучительна. Существуют графические и графоаналитические методы построения упругой линии, изучение

которых еще до недавнего времени в курсах строительной механики считалось совершенно обязательным. Существует универсальное уравнение упругой линии для стержня постоянного сечения, где при любом числе пролетов можно ограничиться определением всего двух постоянных интегрирования. Могут быть предложены и другие, родственные им приемы построения упругой линии. Однако в настоящее время в связи с развитием ЭВМ эти методы практически не используют.

1
Оглавление
email@scask.ru