4.6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемещения при изгибе

Форму изогнутой оси стержня или, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения (4.5). В неподвижной системе координат (рис. 4.44)

Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений. Тогда тангенс угла в между касательной к упругой линии и осью z (см. рис. 4.44) весьма мал. Поэтому квадратом величины у по сравнению с единицей можно пренебречь и принять

откуда

Рис. 4.44

Сопоставляя выражение (4.17) с формулами (4.1), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений:

Для стержня с постоянным сечением имеем

Соотношения (4.18) можно представить как систему из четырех линейных уравнений первого порядка

где - отклонение точек осевой линии стержня от ее положения в недеформированном состоянии. При изгибе прямолинейных стержней но при изгибе криволинейных стержней . Угол поворота сечения Первые два уравнения являются частным случаем уравнений

Систему уравнений (4.20) можно представить в более компактной форме записи:

где - вектор, характеризующий напряженно-деформированное состояние стержня; .

Матрица равна

Решение системы уравнений (4.20) или уравнения (4.21) содержит четыре произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Например, для стержня, показанного на рис. 4.44 имеем: Для стержня с переменным сечением и переменной по z распределенной нагрузкой определить напряженно-деформированное состояние (т.е. найти перерезывающую силу изгибающий момент угол и перемещение ) проще всего численными методами решения систем дифференциальных уравнений [9].

Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений - метод начальных параметров. Изложенный ниже метод справедлив не только для стержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случал нагружения, когда распределенная нагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуют сосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.II)

В курсе высшей математики, в разделе, посвященном системах линейных дифференциальных уравнений с переменными и постоянными коэффициентами, показано, что общее решение неоднородного уравнения (4.21) имеем вид

где - фундаментальная матрица решений однородного уравнения (4.18), С - вектор произвольных постоянных, - частное решение неоднородного уравнения (4.21). Матрицу можно получить из однородного уравнения

решая его четыре раза при следующих начальных условиях:

Каждое из решений удовлетворяющее этим начальным условиям, есть столбец матрицы поэтому матрица при является единичной. Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектора находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все из краевых условий при нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем - двухточечными краевыми.

Например, для случая, показанного на рис. 4.44, имеем при

т. е. Оставшиеся две произвольные постоянные с и находим из краевых условий при

Так как при должны выполняться два условия: то получаем систему из двух уравнений для определения

Определив находим решение уравнения (4.21), или системы (4.20). При использовании для исследования статического напряженно-деформированного состояния прямолинейного стержня системы из четырех уравнений первого порядка отпадает необходимость делить задачи на статически определимые и статически неопределимые, что приходится делать при решении уравнений второго порядка.

Понятно, что написанные выше соотношения (4.18) и (4.20) являются точными в той мере, в какой перемещения можно считать малыми. Подавляющее большинство задач, связанных с расчетами прямолинейных стержней на прочность и жесткость при изгибе, решают в указанном предположении, причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина отброшенная в выражении (4.16), действительно мала.

В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях. Такого рода задачи встречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов.

Если система способна при больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимо от того, идет ли речь об изгибе, кручении или растяжении. При изгибе предельные упругие перемещения определяются не

только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскости изгиба.

Наибольшее относительное удлинение при изгибе, согласно формуле (4.2), равно

а напряжение -

Значительные перемещения стержень сможет получить при условии большого изменения кривизны Но при напряжениях, не превышающих предел упругости, это возможно только при достаточно малом т. е. при малой высоте сечения. Гибкий стержень имеет поэтому обычно форму тонкой ленты или тонкой проволоки и часто называется тонким гибким стержнем.

Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня имеет вид

Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член в знаменателе. Для гибкого стержня в выражении для М нужно обязательно учитывать перемещения, возникающие в стержне. Указанную особенность гибких стержней наглядно иллюстрирует пример консоли (см. рис. 4.44). Видно, что с ростом прогибов вертикальная сила Р получает горизонтальное смещение. В результате этого изгибающий момент в каждой точке стержня изменяется на некоторую величину, зависящую как от местного горизонтального смещения, так и от горизонтального смещения точки приложения силы Р.

Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяет так называемая теория гибких стержней, которая выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается.

Приведем некоторые примеры определения формы упругой линии изогнутого стержня при малых перемещениях.

Пример 4.9. Составить уравнение упругой линии консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 4.45).

Рис. 4.45

Поместим начало координат х, у в заделке. Изгибающий момент в сечении, расположенном на растоянии z от заделки, равен Подставив это выражение в (4.17) и дважды проинтегрировав полученное уравнение, найдем

где - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. В данном случае при имеем откуда Тогда

Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.е. при и равен

Пример 4.10. Двухопорный стержень длиной нагружен силой Р, расположенной на расстоянии а от левой опоры (рис. 4.46). Составить уравнение упругой линии и найти перемещение точки приложения силы.

Рис. 4.46

Начало координат располагаем на левой опоре. Запишем изгибающие моменты на первом и втором участках стержня:

После подстановки этих выражений в (4.17) и двукратного интегрирования полученных уравнений находим

Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня и условий непрерывности при переходе с первого участка на второй: при при при Из этих условий находим После преобразований получим

В точке приложения силы Р имеем Если сила приложена посередине пролета, то

Координата у точки приложения силы после изгиба стержня оказывается отрицательной. Стержень прогибается а сторону, противоположную положительному направлению оси

Из рассмотренных примеров видно, что для стержня, имеющего несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если стержнь имеет участков, необходимо совместно решить уравнений для определения постоянных интегрирования. Естественно, еще более громоздкими будут выкладки для стержня переменной жесткости.

В свое время на преодоление этих трудностей было затрачено много усилий. Но, как всегда, с годами поиска вырабатывается что-то наиболее простое и целесообразное. История науки, изучающей сопротивление материалов, в этом смысле достаточно поучительна. Существуют графические и графоаналитические методы построения упругой линии, изучение

которых еще до недавнего времени в курсах строительной механики считалось совершенно обязательным. Существует универсальное уравнение упругой линии для стержня постоянного сечения, где при любом числе пролетов можно ограничиться определением всего двух постоянных интегрирования. Могут быть предложены и другие, родственные им приемы построения упругой линии. Однако в настоящее время в связи с развитием ЭВМ эти методы практически не используют.