Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня. Перемещения при изгибеФорму изогнутой оси стержня или, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения (4.5). В неподвижной системе координат
Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений. Тогда тангенс угла в между касательной к упругой линии и осью z (см. рис. 4.44) весьма мал. Поэтому квадратом величины у по сравнению с единицей можно пренебречь и принять
откуда
Рис. 4.44 Сопоставляя выражение (4.17) с формулами (4.1), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений:
Для стержня с постоянным сечением имеем
Соотношения (4.18) можно представить как систему из четырех линейных уравнений первого порядка
где Систему уравнений (4.20) можно представить в более компактной форме записи:
где Матрица
Решение системы уравнений (4.20) или уравнения (4.21) содержит четыре произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Например, для стержня, показанного на рис. 4.44 имеем: Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений - метод начальных параметров. Изложенный ниже метод справедлив не только для стержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случал нагружения, когда распределенная нагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуют сосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.II) В курсе высшей математики, в разделе, посвященном системах линейных дифференциальных уравнений с переменными и постоянными коэффициентами, показано, что общее решение неоднородного уравнения (4.21) имеем вид
где
решая его четыре раза при следующих начальных условиях:
Каждое из решений Например, для случая, показанного на рис. 4.44, имеем при
т. е.
Так как при
Определив Понятно, что написанные выше соотношения (4.18) и (4.20) являются точными в той мере, в какой перемещения можно считать малыми. Подавляющее большинство задач, связанных с расчетами прямолинейных стержней на прочность и жесткость при изгибе, решают в указанном предположении, причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях. Такого рода задачи встречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов. Если система способна при больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимо от того, идет ли речь об изгибе, кручении или растяжении. При изгибе предельные упругие перемещения определяются не только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскости изгиба. Наибольшее относительное удлинение при изгибе, согласно формуле (4.2), равно
а напряжение -
Значительные перемещения стержень сможет получить при условии большого изменения кривизны Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня имеет вид
Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяет так называемая теория гибких стержней, которая выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается. Приведем некоторые примеры определения формы упругой линии изогнутого стержня при малых перемещениях. Пример 4.9. Составить уравнение упругой линии консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 4.45).
Рис. 4.45 Поместим начало координат х, у в заделке. Изгибающий момент в сечении, расположенном на растоянии z от заделки, равен
где
Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.е. при
Пример 4.10. Двухопорный стержень длиной
Рис. 4.46 Начало координат располагаем на левой опоре. Запишем изгибающие моменты на первом и втором участках стержня:
После подстановки этих выражений в (4.17) и двукратного интегрирования полученных уравнений находим
Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня и условий непрерывности при переходе с первого участка на второй: при
В точке приложения силы Р имеем Координата у точки приложения силы после изгиба стержня оказывается отрицательной. Стержень прогибается а сторону, противоположную положительному направлению оси Из рассмотренных примеров видно, что для стержня, имеющего несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если стержнь имеет В свое время на преодоление этих трудностей было затрачено много усилий. Но, как всегда, с годами поиска вырабатывается что-то наиболее простое и целесообразное. История науки, изучающей сопротивление материалов, в этом смысле достаточно поучительна. Существуют графические и графоаналитические методы построения упругой линии, изучение которых еще до недавнего времени в курсах строительной механики считалось совершенно обязательным. Существует универсальное уравнение упругой линии для стержня постоянного сечения, где при любом числе пролетов можно ограничиться определением всего двух постоянных интегрирования. Могут быть предложены и другие, родственные им приемы построения упругой линии. Однако в настоящее время в связи с развитием ЭВМ эти методы практически не используют.
|
1 |
Оглавление
|