2.3. Кручение стержня с некруглым поперечным сечением

Определение напряжений в стержне с некруглым поперечным сечением представляет собой довольно сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений, введенная ранее, оказывается неприемлемой. Сечения заметно искривляются, в результате чего существенно меняется картина распределения по ним напряжений. На рис. 2.25 в качестве примера показана форма закрученного стержня прямоугольного поперечного сечения. На поверхность предварительно была нанесена мелкая прямоугольная сетка, которая деформировалась вместе с поверхностными частицами металла. Поперечные линии сетки заметно искривлены, следовательно, будут искривлены и поперечные сечения.

Рис. 2.25

Таким образом, при определении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с их искривлением. Задача, кроме того, резко усложняется тем, что для некруглого сечения напряжения будут определяться в функции уже не одного независимого переменного , а двух (x и y).

Выскажем общие соображения относительно законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой формы, а затем приведем готовые формулы, полученные методами теории упругости для некоторых, наиболее часто встречающихся форм поперечных сечений.

Прежде всего, можно довольно просто установить, что касательные напряжения в поперечных сечениях для точек, расположенных вблизи контура, направлены по касательной к дуге контура. Действительно, положим, что в точке А (рис. 2.26) касательное напряжение вблизи контура направлено под некоторым углом к контуру. Разложим это напряжение на две составляющие - по касательной к контуру и по нормали

Рис. 2.26

Рис. 2.27

По условию парности на свободной поверхности стержня должно возникнуть касательное напряжение Но внешняя поверхность свободна от нагрузки и к ней никаких внешних сил не приложено, кроме, разве что, сил атмосферного давления. Таким образом, Следовательно, и касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру.

Совершенно аналогично можно показать, что в случае, если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения обращаются в нуль. Раскладывая напряжение вблизи угла (рис. 2.27) на две составляющие по нормалям к сторонам угла, получаем напряжения Так как парные им напряжения и равны нулю, то в нуль обращаются и напряжения Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют.

Рис. 2.28

На рис. 2.28 показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю, а наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон в точках А:

В точках В

где а - большая, малая сторона прямоугольника.

Коэффициенты а и зависят от отношения сторон (табл. 2.1). Коэффициент также является функцией отношения (см. табл. 2.1).

Таблица 2.1. Значения коэффициентов

Угловое перемещение

Для эллиптического сечения (рис. 2.29) наибольшие напряжения возникают в точках А по концам малой оси:

в точках В

где - полуоси эллипса.

Рис. 2.29

Угловое перемещение для стержня эллиптического сечения имеет следующее выражение:

Для сечения, имеющего форму равностороннего треугольника со сторонами а, наибольшие напряжения возникают по серединам сторон и равны

Угловое перемещение в этом случае

Обобщал все эти формулы, можно отметить, что при кручении

а также

Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом, согласно формуле (2.20), равна

Здесь и - геометрические параметры, зависящие от формы сечения, (табл. 2.2). Для круглого сечения и совпадают соответственно с т.е. с полярным моментом сопротивления и полярным моментом инерции.

Таблица 2.2. Выражения для вычисления геометрических параметров

(кликните для просмотра скана)