10.3. Изгиб круглых симметрично нагруженных пластин

Выше было рассмотрено растяжение оболочки, не связанное с ее изгибом. Теперь рассмотрим случай изгиба, не связанного с растяжением. Удобнее всего это сделать на примере изгиба пластин.

Теория изгиба пластин представляет собой детально разработанный раздел прикладной теории упругости. Ниже мы остановимся только на простейших задачах этого раздела.

Под действием внешних сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пластина меняет свою кривизну. Это изменение кривизны происходит, как правило, одновременно в двух плоскостях, в результате чего образуется некоторая слабо изогнутая поверхность двоякой кривизны, так называемая упругая поверхность. Форма упругой поверхности характеризуется законом изменения прогибов пластины. При расчете пластин считают, что прогиб существенно меньше толщины пластины Именно в этом предположении можно изгиб пластины рассматривать независимо от растяжения. Пластины, удовлетворяющие этому условию, называют иногда тонкими плитами.

Пластины, прогибы которых соизмеримы с толщиной, рассчитывают с учетом растяжения срединной поверхности.

Теория изгиба пластин и оболочек основана на некоторых упрощающих предположениях. Первым из них является предположение о неизменности нормали, или так называемая гипотеза Кирхгофа. Принимается, что точки, расположенные на некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности до деформации, после деформации снова образуют прямую, нормальную к деформированной поверхности. Такое предположение, как и гипотеза плоских сечений стержня, выражает тот факт, что угловыми деформациям оболочек можно пренебречь по сравнению с угловыми перемещениями. Это приемлемо в той мере, в какой толщина пластины мала по сравнению с другими ее размерами.

Будем, далее, считать, что нормальные напряжения в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с изгибными напряжениями, т.е. надавливание между слоями пластины отсутствует. Аналогичное допущение принимали ранее при выводе формул поперечного изгиба стержня и при исследовании напряженного состояния оболочек по безмоментной теории.

Перейдем теперь к определению напряжений в круглых пластинах. Рассмотрим пластину, имеющую постоянную толщину , нагруженную силами, симметрично расположенными

Рис. 10.16

Рис. 10.17

относительно оси пластины z (рис. 10.16). Деформации, перемещения и напряжения, возникающие в пластине, будут также симметричны относительно оси

Прогиб пластины обозначим через а угол поворота нормали - через (рис. 10.17). Величины шит? являются функциями только радиуса и связаны между собой очевидным соотношением

Знак минус берется в соответствии со схемой прогиба, показанной на рис. 10.17. С уменьшением прогиба угол возрастает. Впрочем, этот знак не является принципиальным и определяется только направлением прогиба.

На рис. 10.18 показано осевое сечение пластины. Точки, расположенные на нормали после изгиба пластины образуют нормаль повернутую на угол Нормаль АВ повернется на угол

Отрезок расположенный на расстоянии z от срединной поверхности и имеющий радиальное направление, получает удлинение

Относительное удлинение будет

Относительное удлинение в точке С в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, может быть найдено из

Рис. 10.18

Рис. 10.19

сравнения длины соответствующей окружности до и после деформации. До изгиба пластины длина окружности, проходящей через точку С, была равна а после изгиба - . Следовательно, относительное окружное удлинение

Двумя осевыми сечениями, проведенными под углом одно к другому, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами (см. рис. 10.16) выделим из пластины элементарную призму, показанную на рис. 10.19. Поскольку в сечениях, параллельных срединной плоскости, нормальные напряжения отсутствуют, связь между удлинениями и напряжениями определяется законом Гука в следующем виде:

Если выразить напряжения через деформации, то получим

или, согласно выражениям (10.9) и (10.10),

На гранях призмы (см. рис. 10.19) возможно возникновение не только нормальных, но и касательных напряжений. Из условий симметрии, очевидно, они могут возникать только на площадках, перпендикулярных к радиусу и только в вертикальном направлении.

Рассмотрим теперь условия равновесия выделенной призмы. Для этого найдем сначала равнодействующие силы на гранях элемента. На грани (см. рис. 10.19) касательные напряжения дают равнодействующую поперечную силу, направленную по оси Силу, приходящуюся на единицу дуги обозначим через Поперечная сила на грани будет а на грани будет равна (рис. 10.20).

Рис. 10.20

Поскольку напряжения в верхних и нижних слоях одинаковы, но различны по знаку (см. формулы (10.12)), нормальные силы на гранях элемента отсутствуют. Нормальные напряжения на соответствующих гранях приводятся к равнодействующим моментам в вертикальных плоскостях.

Интенсивность моментов, возникающих на гранях моменты, приходящиеся на единицу длины сечения, обозначим соответственно через Величины и М в дальнейшем будем для сокращения называть просто моментами, поперечной силой.

Зная напряжения определяем равнодействующие моменты на гранях:

Используя выражения (10.12), получим

Но

следовательно,

где

Эта величина называется цилиндрической жесткостью пластины (или оболочки).

В число сил, приложенных к элементу (см. рис. 10.20), включена также и внешняя сила Проектируя все силы, действующие на элемент, на ось симметрии, получим

откуда

Возьмем сумму моментов всех сил относительно оси у, касательной к дуге круга радиусом в срединной плоскости:

Пренебрегал величинами высшего порядка и переходя к пределу, имеем

Остальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно вследствие условий симметрии.

Подставляя из выражений (10.13) в уравнение (10.16) и полагая жесткость постоянной, получим

откуда

Последнее преобразование легко проверить простым дифференцированием.

После двукратного интегрирования выражения (10.17) находим

где - произвольные постоянные интегрирования, которые определяют из граничных условий в каждом конкретном случае.

Поперечная сила может быть найдена из уравнения равновесия (10.15). Впрочем, поперечную силу гораздо удобнее определять, рассматривая условия равновесия центральной части пластины, выделяемой цилиндрическим сечением, радиус которого г. Этот способ нахождения поперечной силы будет показан ниже на конкретных примерах.

После того как функция 1? найдена, с помощью выражений (10.13) определяют изгибающие моменты а по формуле (10.8) - прогиб

Зная изгибающие моменты, легко найти и напряжения. Сравнивая выражения (10.12) и (10.13), видим, что

Подставляя выражение для находим

Наибольшие напряжения имеют место при Поэтому