10.6. Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном нагружении

Выше были рассмотрены случаи растяжения оболочек без изгиба (безмоментная теория) и изгиба пластин без растяжения. Теперь остановимся на более общем случае, когда в сечениях оболочки возникают и изгибающие моменты, и нормальные силы.

Рассмотрим задачу об определении напряжений в симметрично нагруженном тонкостенном цилиндре. Ее следует решать при тех же допущениях, что и задачу об изгибе пластин, т.е. принимать гипотезу неизменности нормали и предположение о ненадавливании слоев оболочки один на другой.

Круговой тонкостенный цилиндр радиусом и постоянной толщиной находится под действием некоторой осесимметричной нагрузки (рис. 10.29). Деформации и напряжения, возникающие в оболочке, также обладают, очевидно, осевой симметрией, и деформированный цилиндр представляет собой некоторое тело вращения. Форма этого тела определяется формой изогнутой образующей цилиндра.

Рис. 10.29

Рис. 10.30

Обозначим через радиальное перемещение, а через угол наклона касательной к образующей срединной поверхности цилиндра (рис. 10.30). При этом

Перемещение будем отсчитывать от оси цилиндра.

Относительное удлинение отрезка АВ (рис. 10.31), расположенного на расстоянии z от срединной поверхности, складывается из двух составляющих: из удлинения срединной

Рис. 10.31

поверхности и удлинения, обусловленного искривлением образующей цилиндра. Последнее слагаемое имеет вид Полное удлинение слоя АВ будет

Удлинение в окружном направлении

Этим удлинениям соответствуют напряжения связанные с ними законом Гука

или, согласно выражениям (10.30) и (10.31),

В сечениях цилиндра (как осевых, так и поперечных) возникают изгибающие моменты и нормальные силы. Их определяют через напряжения , аналогично тому, как это делали для круглой пластины.

Рассмотрим элемент цилиндрической оболочки с размерами (рис. 10.32). Нормальные силы в площадках отнесенные к единице дуги сечения, будут

Рис. 10.32

Рис. 10.33

Определим в этих же сечениях изгибающие моменты

Учитывая выражения (10.29) и (10.32), запишем силы моменты в зависимости от перемещения

где

Теперь обратимся к уравнениям равновесия. Снова рассмотрим элемент цилиндрической оболочки с размерами и к его граням приложим равнодействующие силы и моменты, которые равны произведению на соответственно (рис. 10.33). Кроме четырех перечисленных силовых факторов, прикладываем поперечную силу Внешние силы характеризуются давлением

При переходе от грани с координатой х к грани с координатой силы получают приращения. В осевых сечениях

по свойствам симметрии силовые факторы остаются одинаковыми. Проектируя силы на ось цилиндра, получаем первое уравнение равновесия

Это значит, что осевая сила определяется условиями нагружения цилиндра на торцах. В дальнейшем будем считать эти условия заданными и силу - известной.

Проектируя силы на направление радиуса, получим второе уравнение равновесия

или

Наконец, третье уравнение равновесия составим, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси, касательной к дуге нормального сечения (на рис. 10.33 это ось у):

откуда

Остальные уравнения равновесия вследствие симметрии удовлетворяются тождественно при любых значениях действующих усилий.

Теперь преобразуем полученные уравнения. Из уравнений (10.33) исключаем , а из (10.35) и (10.36) - поперечную силу . В результате получим

Исключаем из этих уравнений

Наконец, воспользовавшись первым выражением (10.34), приходим к уравнению относительно одного неизвестного - перемещения

где

Как видим, решение рассматриваемой задачи сводится к дифференциальному уравнению (10.38), которое было получено для изгиба стержня на упругом основании (см. § 4.7). Родственность этих задач несомненна. Цилиндрическую оболочку можно рассматривать как совокупность совместно изгибающихся полосок, связанных между собой упругими силами (рис. 10.34). При симметричном нагружении все полоски изгибаются одинаково, и радиальная составляющая сил в каждом сечении, как и для стержня на упругом основании, пропорциональна местному прогибу

Рис. 10.34

Если уравнение (10.38) решено и функция найдена, то по формулам (10.34) определяем моменты из уравнения (10.37) - силу а из (10.36) - поперечную силу

Наибольшие напряжения находим по формулам (10.32) при или

Исключив отсюда при помощи выражений (10.33) и (10.34) величины а также находим

Таким образом, через перемещение мы выразили внутренние силы, а затем и напряжения.

Решение уравнения (10.38) имеет вид

где - частное решение, которое находится в зависимости от закона изменения вдоль образующей.

Для определения четырех постоянных необходимо задать четыре граничных условия и затем решить систему из четырех уравнений. В большинстве случаев эта система оказывается, как говорят, слабо связанной и распадается на две системы из двух уравнений. С достаточной степенью точности постоянные можно определить независимо от постоянных Объясняется это тем, что слагаемые, входящие в функцию (10.42), имеют различный характер. Первое слагаемое представляет собой быстро затухающую функцию, второе - является функцией быстро возрастающей.

Если длина цилиндра I достаточно велика, и функция

при значениях х, близких к принимает исчезающе малые значения, то можно считать, что деформация цилиндра в окрестности второго торца не зависит от условий в окрестности

первого. Таким образом, для достаточно длинного цилиндра имеется возможность проанализировать напряженное состояние в области малого х, пренебрегая возрастающей функцией т. е. полагая Точно так же, полагая и сохраняя только возрастающее слагаемое, можно проанализировать напряженное состояние цилиндра при значениях х, близких к

Применение выведенных формул рассмотрим на конкретном примере.

Пример 10.9. Длинная цилиндрическая труба, имеющая на конце жесткий фланец, нагружена внутренним давлением (рис. 10.35). Требуется определить изгибные напряжения в окрестности фланца.

Рис. 10.35

Будем считать, что осевая растягивающая сила равна нулю. Так как давление от х не зависит, частное решение уравнения (10.38) имеет вид

Подставим в выражение (10.42):

При достаточно большом значении х перемещение должно быть, очевидно, величиной постоянной. Этому условию явно противоречит наличие слагаемого

которое неограниченно возрастает с ростом х. Из возникающего затруднения легко выйти, полагая Тогда

Постоянные подберем так, чтобы в начале отсчета х, т.е. в месте сопряжения цилиндра с жестким фланцем, перемещение к угол поворота обращались бы в нуль. Тогда получаем

Так как

График этой функции показан на рис. 10.36.

Рис. 10.36

При достаточно большом функция принимает вид

Нетрудно установить, что это не что иное, как увеличение радиуса цилиндра при свободном растяжении в окружном направлении. В самом деле, при нагружении внутренним давлением в цилиндре, как мы видели в предыдущей главе, возникает окружное напряжение Соответствующее удлинение

Чтобы определить увеличение радиуса цилиндра, следует умножить с на в результате чего приходим к выражению (10.44).

На основании выражения (10.43) легко проследить, сколь далеко вдоль образующей распространяется влияние защемления у фланца. Если довольствоваться точностью в пределах то можно сказать, что зона влияния простирается примерно до такого значения х, при котором Сумма не может быть больше Следовательно, откуда

или, согласно выражению (10.39),

Таким образом, зона влияния краевого защемления распространяется на участок цилиндра длиной За пределами этой, зоны можно считать, что напряжения с достаточной для практических целей точностью соответствуют безмоментной теории. Величина обычно мала по сравнению с длиной цилиндра, и поэтому иэгибные напряжения носят явно выраженный местный характер. Эта особенность распределения напряжений около контура является общей для оболочек вообще и носит название краевого эффекта.

Пользуясь формулами (10.34) и (10.43), определим изгибающий момент

или

Эпюра изображена на рис. 10.36. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в заделке:

Поскольку меридиональное напряжение согласно формуле (10.41), принимает значение

Изгибное напряжение в меридиональном направлении оказывается в 1,82 раза больше расчетного напряжения по безмоментной теории. Краевой эффект, как видим, приводит к заметному повышению максимальных напряжений. Еще более резкое повышение напряжений имеет место в зоне сопряжения оболочек, например, цилиндра, соединенного со сферическим днищем (рис. 10.37, а). Здесь, как показывают подсчеты, при одинаковой толщине оболочек местное эквивалентное напряжение

Это напряжение уже по порядку величины больше того, что дает безмоментная теория. С тем, чтобы снизить краевой эффект, в зоне сопряжения

Рис. 10.37

делают плавные переходы, как это показано, например, на рис. 10.37, б. В этом случае напряжение изгиба заметно снижается. По подсчетам

что не дает заметного отличия от напряжений, определенных с использованием безмоментной теории.

Из всего сказанного не следует делать вывод о неприменимости безмоментной теории в случаях, когда в оболочке имеется краевой эффект. Выше было указано, что, если в оболочке отсутствуют резкие переходы или жесткие контурные защемления, определение напряжений с использованием безмоментной теории оказывается достаточно точным для всех точек оболочки. Когда же имеются местные защемления, безмоментная теория оказывается неприменимой лишь для областей, расположенных в зоне краевого эффекта, и дает опять же вполне приемлемые результаты для точек общего положения.

Не всегда вычисленные выше изгибные напряжения следует рассматривать как расчетные. Дело в том, что эти напряжения носят явно выраженный местный характер. Между тем известно, что для пластичных материалов резкие перенапряжения в узкой области при статическом нагружении не сказываются существенным образом на несущей способности системы. Так, в рассмотренной цилиндрической трубе в зоне сопряжения с фланцем при увеличении давления произошло бы местное пластическое обмятие материала, а несущая способность трубы не пострадала бы. Вместе с тем местные напряжения имеют существенное значение для хрупких материалов, а также в случае изменяющихся во времени нагрузок. Этот вопрос специально будет рассмотрен в гл. 12.