Глава 9. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ

9.1. Основные уравнения для толстостенной трубы

В технике для удержания высокого давления приходится иметь дело с толстостенными сосудами. Обычно это - цилиндр, внешний диаметр которого в несколько раз превышает внутренний.

Задача определения напряжений в таком цилиндре заметно сложнее, чем в тонкостенных сосудах, и одними только уравнениями равновесия обойтись не удается. Приходится также рассматривать возникающие в цилиндре перемещения. Эту задачу называют задачей Ламе но имени французского ученого, работавшего в 20-х годах прошлого столетия в Петербургской Академии наук.

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис. 9.1), нагруженное так, что внешняя нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется. Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношение между внутренним и наружным радиусами цилиндра ограничений накладывать не будем. Длину цилиндра пока также

Рис. 9.1

будем считать произвольной. В дальнейшем по этому поводу будут сделаны некоторые оговорки. Каждая точка цилиндра при его деформации получит какие-то перемещения. По условиям симметрии эти перемещения, очевидно, будут происходить в радиальных плоскостях. Точка может перемещаться по направлению радиуса и вдоль соответствующей образующей.

Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через к. Величина и является функцией текущего радиуса и не изменяется по длине цилиндра. За положительное направление для примем направление от оси цилиндра (см. рис. 9.1). Что касается перемещений вдоль оси, то будем считать, что они возникают только как следствие общего удлинения или укорочения цилиндра. Если осевые перемещения существуют, то они распределены так, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими.

Обозначим через относительные удлинения в цилиндре в радиальном и окружном направлениях и выразим их через перемещение .

Рис. 8.2

Для этого рассмотрим элементарный отрезок выделенный в радиальном направлении (рис. 9.2), до и после нагружения цилиндра. Точка А получает перемещение и, а точка В - перемещение и Легко установить, что новая

длина элемента будет равна а его относительное удлинение

Рассмотрим, далее, длину окружности, проведенной внутри цилиндра до и после его нагружения (рис. 9.3). Длина окружности до нагружения цилиндра равна После нагружения радиус увеличится на и и длина окружности будет равна . Относительное удлинение ее составит

или

Исключая и из равенств (9.1) и (9.2), получаем

Обратимся теперь к уравнениям равновесия.

Рис. 9.3

Рис. 9.4

Выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 9.4). Длины сторон этого элемента равны

В осевых сечениях цилиндра (плоскость элемента) по условиям осевой симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные напряжения называемые окружными. В поперечных сечениях цилиндра

(поверхность элемента) касательные напряжения также предполагают равными нулю. Основанием этому служит условие независимости перемещений и от координаты . В поперечных сечениях могут существовать нормальные (осевые) напряжения которые возникают как следствие нагружения цилиндра силами вдоль оси. Эти напряжения предполагают неизменными как по оси, так и по радиусу цилиндра.

Поскольку площадки и являются главными, главной будет также и площадка Напряжение на этой площадке обозначим через Оно называется радиальным напряжением. При переходе от радиуса к радиусу напряжение получит приращение

В рассматриваемой постановке, как видим, задачу определения напряжений и перемещений в теле вращения можно решить в функции только одного независимого переменного - радиуса .

Проецируя силы, действующие на элемент, на направление радиуса, получаем следующее условие равновесия:

откуда

или

Остальные уравнения равновесия для элемента удовлетворяются тождественно.

Согласно обобщенному закону Гука, напряжения связаны с удлинениями следующими соотношениями:

Будем считать, что напряжение нам известно из условий загружения цилиндра осевыми силами по торцам.

Подставим в выражение (9.3). Тогда в дополнение к уравнению равновесия получим

Складывая и вычитая почленно уравнения (9.4) и (9.6), получим два новых уравнения:

Решая их, находим

где А и В - произвольные постоянные.

Далее определяем

(верхнему индексу соответствует верхний знак, нижнему - нижний).

Перемещение и можно найти из выражения (9.2), если определить предварительно по формулам (9.5):