3. СКАЧКООБРАЗНЫЙ РЕЗОНАНС И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Работе гидропривода на инерционную нагрузку, когда соответствуют значения того же порядка, что и давление системы компенсации утечек . В этом случае зависит от (рис. XIII.5.) При решении задач о вынужденных колебаниях можно принять [I].

где постоянная часть выбирается наибольшей при знакопостоянной переменной — нелинейной составляющей. В этом случае уравнение расхода (XIII. 1) можно записать

где — нелинейная часть динамической податливости.

Рис. XIII.5. Зависимость коэффициента динамической податливости от модуля перепада давления

При достаточности фильтрующих свойств можно использовать выражение гармонического коэффициента передачи нелинейного элемента:

поскольку

В порядке первого приближения можно принять и применительно к вынужденным колебаниям, когда , приближенное решение отыскивается в форме

Рассмотрим случай, когда Из уравнения (XIII.1)

поэтому, используя два члена разложения в ряд Маклорена, получим

или при

где

V — объем жидкости, участвующий в процессе динамической податливости гидропривода.

Допуская в равенстве (XIII. 15) , получим амплитудно-частотную характеристику при (рис. XIII.6).

Применительно к геометрически подобным гидроприводам увеличивается с ростом значения более чем на три порядка для одного и того же семейства гидроприводов [6]. Поэтому динамические свойства гидропривода существенно зависят от размера гидромашин и должны проверяться для каждых конкретных условий проектирования.

Рис. XIII.6. Динамические характеристики гидропривода: а — амплитудная характеристика; б — частотная характеристика

Параметры установившегося режима при вынужденных колебаниях определяются из условий

Условия устойчивости найдем, применяя критерий Рауса—Гурвица к характеристическому уравнению возбужденного движения:

При условия устойчивости

а при и

или через параметры гидропривода

Периодическое решение устойчиво, если с возрастанием увеличивается при а границе области устойчивости соответствует вертикальная касательная к кривой

При достаточности фильтрующих свойств можно использовать метол гармонической линеаризации к переменным применительно к структурной схеме, показанной на рис. XIII.7, где

Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики соответственно определяются из частотной характеристики

причем при фиксированных значениях определяются точками пересечения кривой с прямыми, параллельными оси Р.

Рис. XIII.7. Структурная схема: — нелинейная часть системы; — линейная часть, охваченная обратной связью с нелинейностью; — линейная часть, не охваченная обратной связью

На рис. XIII.8 кривыми показаны и штриховыми горизонталями причем значение Р определяется произведением на расстояние между точкой соответствующей частоте со на кривой и точкой соответствующей амплитуде Р на годографе при

Рис. XIII.8. Годограф системы и область устойчивссти

Поэтому и возможные формы амплитудно-частотных характеристик приведены на рис. XIII.8 (по строение удобно проводить в логарифмических координатах).

Обратная амплитудно-фазовая характеристика приведенной линейной части системы

Из равенства следует, что

где

Существование неустойчивых периодических решений (например, скачкообразное изменение амплитуды при изменении частоты) определяется условием точка амплитудно-фазовой характеристики с координатами должна лежать внутри окружности:

радиус которой , а координаты центра

Уравнение огибающей семейства таких окружностей получим, исключая амплитуды Р из уравнений

что возможно при конкретизации функции

Области существования скачков определяются прохождением годографа через огибающую семейства окружностей для всех точек годографа Так, годограф, изображаемый кривой 1 (рис. XIII.8), в точке переходит в область скачка и в точке покидает эту область (рассматриваемым точкам соответствуют частоты и При возникает скачкообразное изменение амплитуды (экспериментально получено для произвольно выбранной модели изменение в 10—12 раз), а фаза изменяется несколько меньше, чем на угол (колебания происходят почти в противофазе, как показано на рис. XIII.9).

Рис. XIII.9. Амплитуднофазовые частотные характеристики

Зависимость приводит к возникновению переходных процессов с меняющейся частотой. Так, применительно к структурной схеме, приведенной на рис. XIII.6, при начальный момент времени свободное движение системы описывается уравнением

где — полиномы, определяющие передаточную функцию приведенной линейной части. Гармоническая линеаризация для симметричных колебаний, в том числе с быстрым затуханием, при приводит к выражению

где — показатель и частота затухания переходного процесса соответственно;

и — коэффициенты гармонической линеаризации. Подставляя выражение (XIII.25) и уравнение (XIII.24), а также имея в виду, что получим

(соответствует существованию пары комплексных корней в исходном уравнении). Поскольку при оператор то

Поэтому

Прямое решение этого уравнения громоздко и поэтому следует обращаться к текущей постоянной времени огибающей переходного процесса при помощи записи где знак «минус» используется для затухающих процессов, а «плюс» — для расходящихся.

Начальное значение получим из начального условия (рис. XIII.10, а). Выбирая интервал времени для следующего приближения, определяют положение начальной точки второго интервала времени (рис. XIII.10, а и XIII.10, б), по которому находят (рис. XIII.10, в).Кривая — огибающая построенных отрезков прямых (рис. XIII.10, г). Затем строят со при помощи которой разбивается ось на участки так, чтобы площадь под кривой каждого участка равнялась у, после его определяют конфигурацию кривой, описывающей переходный процесс, как показано на рис. XIII. Разбивку оси абсцисс на интервалы времени производят при помощи очевидного построения (рис. XIII.10, е), а зависимость получают интегрированием закономерности

Субгармонические колебания, возникающие в качестве одной из фэрм вынужденных колебаний гидропривода, рассматриваются в работах [1]. Такого рода колебания возможны в слабо демпфированных системах, а также при частотах много меньше собственных, когда в гидроприводе магистрали нагружаются попеременно.

Возможность появления субгармонических колебаний проверяется подстановкой в уравнение (XIII.15) выражений Поскольку рассматривается слабодемпфированная система, то член опускается.

Принимая получим

где и притом вещественен, поэтому должно быть нечетно.

При

или

где

Рис. XIII. 10 (см. скан) Переходный процесс

Этими выражениями описывается амплитудная характеристика субгармонических колебаний. Составляющие амплитуды получаются из равенств

где

Если обозначить то

Условия устойчивости возмущенного движения могут быть записаны в форме

или через параметры гидропривода

Получение общих рекомендаций о возникновении субгармонических колебаний затруднено из-за чрезвычайно широкого диапазона изменения первой и второй степени произведения при переходе от гидромашины одного размера к другому, а также иных параметров привода и даже режима его работы [например, зависимость Поэтому проверка возможности существования субгармонических колебаний проводится расчетом конкретной системы применительно к заданным режимам работы.