4. АВТОКОЛЕБАНИЯ С МЯГКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

Предполагая существование зависимости исключим из уравнений (XIII.1)

где

В безразмерных переменных, когда

где

Аппроксимация при решении задач методом гармонической линеаризации должна проводиться при помощи выражений, справедливых в большом диапазоне изменения у, например

Особая точка, характеризующая установившееся движение, определяется из равенства (XI 11.30) при помощи уравнения

которое решается элементарными графическими приемами, как показано на рис. XIII.11.

Уравнение возмущенного движения может быть получено из равенства (XIII.30) подстановкой Для этого раскладывают в ряде Тэйлора:

обозначая его нелинейную часть

Тогда уравнение (XIII.30) с учетом выражений (XIII.32) и будет

Рис. XIII. 11. Графическое определение координаты особой точки

Устойчивость возмущенного движения проверяют из последнего равенства, в котором принимают . В этом случае условия устойчивости имеют вид

причем условие (XIII.35) более сильное, поскольку определяет существование движения.

Удовлетворение условий (XIII.35) и (XIII.36) означает существование устойчивой особой точки, при которой возможно при соблюдении некоторых дополнительных условий возникновение автоколебаний с жестким возбуждением (неустойчивость в большом).

Автоколебания при неустойчивой особой точке могут существовать только при одновременном удовлетворении условия (XIII.36), т. е. когда

Следовательно, в задемпфированных системах диапазон существования автоколебаний с мягким возбуждением весьма сужается, а при они становятся невозможными. Автоколебания исключаются при увеличении демпфирования (например, при увеличении значения т. е. при наличии дополнительных утечек).

В размерных переменных условия (XIII.35) и (XIII.36) принимают форму

— приведенное значение коэффициента активного сопротивления на величину производной от падающей характеристики фрикционного сопротивления, как, например, это следует из выражения (XIII.34).

Условие (XIII.38) показано на рис. XIII.12 гиперболой , а условие (XIII.39) — прямой причем положение точки определяется фиксированным значением отношения у. Поэтому автоколебания возможны при

Рис. XIII. 12. Области параметров гидропривода при : I — седло; II — неустойчивый фокус; III — устойчивый фокус; IV — устойчивый узел; V — неустойчивый узел

Если на оси отложить отрезок и построить прямую то получим пять областей состояния системы, поскольку эта прямая соответствует условию

определяющему границу, разделяющую области действительных значений корней характеристического уравнения от области комплексных значений. Возмущенные движения в областях апериодические, а в областях III и IV — колебательные.

Применительно к электрогидравлическому приводу, линейная часть которого составлена из элементов канала ошибки с измерителем рассогласования, механизмом управления и гидроприводом, передаточные функции которых соответственно (рис. XIII. 13, а), а нелинейное сопротивление движению показано на структурной схеме (рис. XIII.13, б) нелинейным элементом . В системе предусмотрены корректирующие каналы для сигналов

дифференциаторов углов поворота задающего и нагрузки с передаточными функциями соответственно.

Годографы передаточных функций линейной части замкнутой системы для возмущающего воздействия показаны на рис. XIII.14, а-в кривыми 1 — при астатизме первого порядка, кривыми 5 — при астатизме второго порядка и кривыми 2 — для незамкнутого привода. Эти годографы совпадают на больших частотах.

Рис. XIII. 13. Структурные схемы системы: а - линейная часть; б — преобразованная с учетом нелинейного демпфирования

Совпадение годографов — следствие использования одинаковой неизменяемой (силовой) части, а отличие — следствие разных способов реализации управляющей части.

Рассмотрим три координаты входа: управляющий сигнал возмущающее воздействие и линеаризирующий гармонический сигнал Относя нелинейное демпфирование в гидродвигателе и нагрузке к можно записать

Кроме того, как и для каждого гидропривода,

Выбор знаков в равенстве (XIII.41) предусматривает перемещение нагрузки в одном направлении при одинаковых знаках и ошибки

Рис. XIII. 14. Годографы амплитудно-фазовых характеристик: а — для симметричных колебаний; б — для раздельного и в — для совместного действия составляющих трения

Значения должны обеспечивать линеаризацию нелинейностей канала ошибки и фильтроваться еще до гидропривода. Во всяком случае должно удовлетворяться условие

В нагрузке и гидромоторе, кроме сопротивления (прямая 1 на рис. XIII. 15, а), имеется нелинейное сопротивление Мн (кривая 5) [1], причем , где Кроме того, больше при чем при , т. е. имеет место эффект гистерезиса (кривая 3 на рис. XIII.15, а), обязательно проявляющийся при прохождении через нулевое значение.

Используя компенсирующий момент можно в первом приближении принять

где

графические представления которых показаны на рис. принцип суперпозиции можно сложную закономерность свести к сумме элементарных).

Коэффициенты гармонической линеаризации для постоянной части момента

для синфазной составляющей

и для квадратурной составляющей позволяют оценить действие нелинейности и записать приведенную передаточную функцию нелинейного элемента

где индексы соответственно относятся к контактному трению, падающей характеристике трения и эффекту гистерезиса.

Рис. XIII. 15. Закономерности изменения нелинейного демпфирования при изменении выходной координаты: а — исходные кривые; б — аппроксимации

Параметры (рис. XIII.15, б) принимаются постоянными и положительными, а значения определяются в соответствии с выражением момента трогания для гидромотора [2], [6]

или усилия трения для гидроцилиндра

где — активная площадь поршня гидроцилиндра;

— номинальное давление и давление подпитки (системы компенсации утечек) соответственно.

При всяком состоянии нелинейное демпфирование превращается в составляющую возмущающего воздействия

которая рассматривается в качестве нелинейности на соответствующем входе линейной системы. Подставляя соотношения (XIII.48) и (XIII.49) в выражение (XIII.41), получим нелинейное уравнение динамики системы

Приближенное решение находим методом гармонической линеаризации для случая изменяющихся когда

где — медленно меняющиеся параметры. Они могут считаться постоянными (по сравнению с возмущениями) при исследовании автоколебаний, если

и в случае достаточности фильтрующих свойств возможна линеаризация нелинейности

На рис. XIII. 16 даны результаты подсчета в зависимости от при разных значениях (рис. XIII. 16, а), а также при (рис. XIII.16, б).

При переменная часть полностью определяется отрицательными членами [при коэффициенты ]. При этот момент меняет знак и дополнительно к нему возникают составляющие Синфазная часть момента гистерезиса отрицательна в малом диапазоне изменения амплитуды колебания скорости, а квадратурная составляющая положительна, т. е. переменная часть момента вносимая гистерезисом, по фазе всегда опережает скорость. Постоянная часть демпфирующего момента (рис. XIII.16, а) при автоколебаниях с уменьшается с увеличением амплитуды и при этот момент уменьшается до нуля.

Подставляя выражения (XIII.54) и (XIII.55) в уравнение (XIII.53), получим

Откуда астатических систем и а постоянная часть моментной ошибки

При убывании уменьшается и что является эффектом вибрационной линеаризации (уменьшение статического момента на малых скоростях движения).

Рис. XIII. 16. Коэффициенты гармонической линеаризации: а — для постоянной составляющей; б — для первой гармоники

Для систем с астатизмом второго порядка, имеющих дополнительный полюс в или обязательно

При отсутствии автоколебаний тот же эффект достигается применением линеаризирующего сигнала параметры которого выбираются так, чтобы возбуждаемые им колебания скорости нагрузки не отфильтровывались в механизме управления. Тогда амплитуда колебаний должна превышать смещение

Анализ возможных автоколебаний проводят при помощи характеристического уравнения

получаемого из выражения (XIII.57) при и свидетельствующего о независимости параметров автоколебаний от медленно меняющегося

внешнего момента. Параметры автоколебаний определяются из условия

или в логарифмических (акустических) координатах

Удобно для нелинейной части применять относительные (акустические) характеристики

Случаи используются при анализе систем с астатизмом выше первого. Очевидно,

при отсутствии гистерезиса

при отсутствии падающей характеристики трения

Для высокочастотного момента всегда входной импенданс системы определяется только инерцией нагрузки, в том числе и для систем с распределенными параметрами.

Можно показать, что — порядок астатизма системы), а годографы линейной части образуют замкнутые в начале координат кривые

поэтому высокочастотная часть годографа определяется неизменяемой частью системы и не зависит от управляющей части.

Обратные амплитудно-фазовые характеристики нелинейности, взятые с обратным знаком в соответствии с условиями (XIII.60), показаны на рис. XIII.14, а кривыми 4, 5 и 6, на которых стрелки указывают направление, соответствующее росту амплитуд симметричных колебаний. Кривая 4 соответствует совместному эффекту контактного трения и падающей характеристике, — эффекту гистерезиса (при малых амплитудах совпадает с штриховым лучом а при увеличении амплитуды приближается к мнимой оси), эффекту одновременного действия всех трех типов нелинейностей.

Точки встречи для систем с дают параметры автоколебаний в соответствии с условиями (XIII.60), поскольку эти точки соответствуют выходу нелинейной части из внутренней области годографа линейной части (условие устойчивости периодического

решения). Можно заметить, что из-за низкого значения частоты, соответствующей точке пересечения условия фильтра

обычно не выполняются, существенно затрудняя определение точных параметров возможных автоколебаний. Имея в виду, что низкочастотные движения определяются только статическими свойствами привода, можно заменить рассматриваемую нелинейность эквивалентной ей нечувствительностью с гистерезисом в регулировочной характеристике привода.

Подобного рода низкочастотные движения в следящих системах на практике могут и не проявляться из-за нарушения условия «медленности» изменения входной координаты. Следовательно, любой вид нелинейного демпфирования в нагрузке систем с пологой фазовой характеристикой или в приводах с разомкнутой схемой управления не может вызывать симметричные автоколебания.

Если значительная часть полюсов по сравнению с нулями (или наоборот) удалена от начала координат на плоскости корней (клювообразный годограф с положительным на низких частотах увеличением фазы), то возникает возможность существования периодических решений при Исследование этих случаев осуществляется рассматриваемыми приемами, хотя следует отметить, что такие формы годографов в силовых системах управления не встречаются.

При несимметричных периодических движениях годографы нелинейностей существенно меняются. Кривая 4 на рис. XIII. 14, б изображает годограф контактного трения (увеличение смещает точку перегиба влево), а годограф падающей характеристики оказывается на правой части оси (ветвь 5) и лишь при увеличении амплитуды колебаний до изображающая точка годографа через бесконечность переходит на кривую 4. При годограф падающей характеристики, приходя из имеет точку перегиба. Годограф эффекта гистерезиса показан на рис. XIII.14, б кривыми 6, причем увеличение амплитуды до значения соответствует перемещению изображающей точки из бесконечности скачком на штриховую кривую, определяемую условием

При дальнейшем увеличении изображающая точка уходит в бесконечность (стрелкой на штриховой кривой линии показано направление, соответствующее увеличению смещения

При одновременном действии демпфирований всех трех типов и годограф нелинейного члена изменяется (рис. XIII.14, в). Так, при малом значении и сильном гистерезисе (кривая 4) появляется ранее не исследовавшаяся дополнительная точка встречи с годографом системы. Кривая 5 соответствует случаю когда с ростом А скорость вначале достигает значений, при которых падающая характеристика прекращает свое действие и только затем проявляется эффект гистерезиса (при ) При больших

значениях по сравнению с I точек встречи нет (кривая 6 на рис. XIII. 14, в) и система становится абсолютно устойчивой.

При отсутствии гистерезиса частота возможных автоколебаний (точки на рис. XIII.14, а, б) не зависит от параметров нелинейности и значения и будет такой, при которой сопротивление системы внешнему моменту имеет чисто реактивный характер я.

При действии только контактного трения и в системах без обратной связи автоколебания не возникают, если фазовая характеристика разомкнутой системы в полосе частот, меньших частоты среза, не пересекает прямую , а для постоянных времени привода (XIII.47) выполняются соотношения или

В системах, абсолютно устойчивых при Для возникновения несимметричных автоколебаний необходимо не только существование падающей характеристики, но и ее достаточности, определяемой в соответствии с условием (XIII.60) неравенством

Поскольку в зоне действия характеристики то выполнение неравенства

означает невозможность возникновения автоколебаний при любом значении на частоте, где достаточности падающей характеристики свидетельствует нахождение отрезка на рис. XIII.14, б внутри годографа линейной части, поскольку положение точки С определяется значением В этом случае неравенство (XIII.65) не выполняется.

При одновременном действии нелинейностей всех трех типов и их общий коэффициент передачи по основной гармонике будет наибольшим, когда При этом значения составляющих коэффициентов гармонической линеаризации

определяют штриховую кривую на рис. XIII. 14, в, т. е. за счет эффекта гистерезиса годограф нелинейности размещается в верхней полуплоскости. При начало годографа расположено в точке С; при возникновении эффекта гистерезиса и годограф скачком перемещается в начало координат, поскольку с ростом точка годографа, соответствующая началу действия гистерезиса (XIII.66), перемещается по штриховой кривой.

В этом случае неравенство (XIII.65) — необходимое, но не достаточное условие устойчивости. При его выполнении и при малых значениях точка С не охватывается годографом линейной части и за счет эффекта гистерезиса возможно существование точки пересечения для любой замкнутой системы и невозможно для незамкнутых

систем, если их фазовые характеристики не заходят в первый квадрант, т. е. Следовательно, эффект гистерезиса может вызвать появление дополнительного предельного цикла, причем автоколебания более вероятны для незамкнутых систем, которые имеют меньшую жесткость по сравнению с замкнутым приводом.

Рис. XIII. 17. Графическое определение параметров автоколебаний

Пусть в электрогидравлическом приводе управления положением используется двухкаскадный механизм управления с передаточной функцией

С гидромашинами типоразмера № 5 раздельного исполнения из гаммы гидроприводов [6] с постоянными передаточных функций (XIII.46), и с корректирующим усилителем, для которого

Характеристики и сравниваемые нелинейные характеристики Для случая показаны сплошными линиями на рис. XIII. 17. Горизонталь определяет значение частоты при которой выполняется условие (XIII.62) равенства фаз. Вертикаль Б В определяет усиление линейной части на частоте автоколебаний. Горизонталь А Б даст решение уравнения (XIII.61). Автоколебания возможны для (исключая поскольку соответствующие точки своими

координатами подтверждают условие устойчивости, которое для рассматриваемого случая имеет вид

Усиление линейной части на частотах оказывается меньше, чем при соЛ, следовательно, условие фильтра выполняется.

Осциллограммы (рис. XIII.18) работысистемы на скоростях подтверждают, что правомерность применения метода гармонической линеаризации справедлива и для случая периодических неравновесных остановов.

Рис. XIII. 18. Осциллограммы работы гидропривода: 1 — скорость гидромотора 2 — ошибка ; 3 — перепад давления в гидромоторе

При слабом гистерезисе характеристики ограничены вблизи а кривая фазы при становится плавной (на рис. XIII. 17, а показано штрих-пунктирными кривыми). Наличие предельных циклов и их устойчивость устанавливается обычным методом шаблонов. Можно заметить, что с ростом смещения частота колебаний уменьшается, что приводит к нарушению условия фильтра. Поэтому использование высших гармоник при неоднозначной характеристике трения необходимо лишь при малых по сравнению с характерным значением, соответствующим скоростях движения