2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НАГРУЖЕННОГО ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

Уравнение динамики и передаточные функции. Рассмотрим динамику нагруженного электрического исполнительного элемента (или двигателя), описываемого нелинейным функционалом вида

где аргументы или являются функциями независимой пере менной Сигналам на входе исполнительного элемента в выражении (1.1) соответствуют — функция тока управления и — функция напряжения. Переменные являются соответственно функциями угловой скорости и вращающего момента выходного вала исполнительного элемента.

Функционал обычно задается графически. Связь между установившимися значениями электрического двигателя представляется в виде семейства механических характеристик аналогично семейству обобщенных механических характеристик

исполнительного элемента (см. линеаризованные обобщенные характеристики, изображенные на рис. 1.3, а).

Механические характеристики электрического двигателя являются проекциями на плоскость кривых получаемых, например, экспериментально при различных значениях некоторого параметра. Параметром семейства характеристик является в соответствии с (1.1) или ток или напряжение Линеаризованные механические характеристики или могут быть использованы в качестве исходных при анализе динамики линейной модели электрического исполнительного устройства или привода.

Рис. 1.3. Статические характеристики исполнительного элемента: а — обобщенная линеаризованная; б — электрического исполнительного элемента

Если функция зависящая, например, от параметра , имеет непрерывные частные производные в окрестности рабочей точки К, на поле механических характеристик, а функции и дифференцируемы в точке то

В выражении (1.2) частные производные и представляют собой дифференциальные значения статического коэффициента передачи и выходной (внутренней) механической проводимости электрического исполнительного элемента, которые соответствуют, например точке на поле его характеристик.

Введем следующие обозначения:

где дифференциальные значения выходного механического сопротивления и входного электрического сопротивления исполнительного элемента.

Значения являются переменными, зависящими от положения рабочей точки в данный момент времени на поле нелинейных механических характеристик.

Изменение мгновенного положения рабочей точки (например, из относительно аргументов характеризуется полным дифференциалом нелинейной функции

где дифференциал является главной частью полного приращения линейной относительно приращений и ее аргументов.

Выполняя линеаризацию нелинейной функции по степеням малых приращений переменных, взятых в окрестности их значений (например, вблизи точки соответствующих установившемуся режиму работы нагруженного исполнительного элемента, вместо выражения (1.7) можно записать (см. рис. 1.3, б)

где — передаточный коэффициент и механическая проводимость элемента при линеаризованных характеристиках

Далее предположим, что уравнением комплексной механической нагрузки (сопротивления), связывающим приведенные выходные координаты и является линейное интегро-дифференциальное уравнение вида

где — приращение угловой скорости вала нагрузки;

— изменение момента нагрузки; — постоянные коэффициенты, характеризующие физические параметры сопротивления нагрузки (постоянные времени и т. д.). Выражению (1.9) могут быть поставлены в соответствие разнообразные схемы соединения механических сопротивлений, т. е. различные способы нагружения исполнительного элемента.

В частном случае, если коэффициенты то уравнение нагрузки, характеризующейся вязким трением, записывается в виде

Из уравнения (1.9) следует также, что при момент упругой нагрузки

Если коэффициенты в уравнении то сопротивление инерционной нагрузки, зависящей только от первой производной определяется из уравнения

Переходя в уравнении (1.9) к изображениям при нулевых начальных условиях (если получим

По определению передаточная функция приведенной комплексной механической нагрузки

В соответствии с выражением (1.8) линеаризованное уравнение электрического исполнительного элемента в форме изображений имеет следующий вид:

Применив принцип Даламбера решим уравнения (1.11) и (1.12) совместно. В результате с учетом знака при получим передаточную функцию нагруженного электрического исполнительного элемента в виде отношения изображений угловой скорости и управляющего сигнала т. е.

Аналогично путем исключения соответствующих переменных можно получить следующие передаточные функции:

Передаточной функции (1.13) может быть поставлена в соответствие структурная схема электрического исполнительного элемента, изображенная на рис. 1.4, б. Звено с передаточным коэффициентом в цепи обратной связи этой схемы позволяет переити на поле линеаризованных механических характеристик от координаты к параметру На рис. 1.4, а в цепи обратной связи используются два звена с передаточными коэффициентами

Структурная схема, изображенная на рис. 1.4, в, соответствует координате и разности угловых скоростей Эти координаты определяют мгновенное положение рабочей точки на поле линеаризованных механических характеристик (см. рис. 1.3, б). Суммарный возмущающий момент характеризует нелинейные механические связи двигателя с нагрузкой. Из рис. 1.4 следует, что в статическом и динамическом режимах работы электрического исполнительного элемента механическая нагрузка проявляется как естественная отрицательная обратная связь, характер которой зависит от вида сопротивления нагрузки.

Структурные схемы. На рис. 1.5 изображены структурные схемы двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

с учетом входного сопротивления В отличие от схем рис. 1.4 на рис. 1.5 в соответствии с правилами структурных преобразований осуществлена перестановка звена механической нагрузки из цепи обратной связи в прямую цепь схемы, а звена, имеющего передаточный коэффициент — наоборот. Поэтому сигнал рассогласования на рис. 1.5

в отличие от схемы рис. 1.4, а и 1.4, б, где рассогласование

Кроме того, структурные схемы рис. 1.5 дополнены звеном, учитывающим нелинейную характеристику сухого трения:

где — движущий момент, который непосредственно приложен к комплексной механической нагрузке показанной на рис. 1.5, а.

Рис. 1.4. Структурная схема электрического исполнительного элемента постоянного тока: а — с промежуточной координатой ; б — с промежуточной координатой — с суммированием угловых скоростей;

Структурная схема электрического двигателя, нагруженного на инерционное механическое сопротивление У (рис. 1.5, б), составлена по системе уравнений:

где — инерционный момент.

Варианты структурных схем электрического двигателя постоянного тока с учетом инерционной нагрузки и характеристики сухого трения показаны на рис. 1.6.

Рис. 1.5. Структурные схемы двигателя постоянного тока с независимым возбуждением: а — схема с комплексной нагрузкой; б — с инерционной нагрузкой;

Учет ненулевых начальных условий при расчете исполнительного привода может быть выполнен следующим образом. Пусть динамика нагруженного электрического исполнительного элемента описывается линейным дифференциальным уравнением порядка.

при некоторых начальных условиях

Известно, что общее решение уравнения (1.23) имеет вид:

где — решение неоднородного уравнения (1.23) при нулевых начальных условиях;

- решение соответствующего однородного уравнения с заданными начальными условиями; коэффициенты

Позиционный электрический следящий привод (рис. 1.7) состоит из электродвигателя, нагруженного на механическое сопротивление; усилителя, передаточная функция которого тахогенератора (коэффициент передачи силового редуктора (передаточное число устройства для измерения углового рассогласования работающего по схеме грубый — точный отсчет (коэффициент передачи измерительного устройства Передаточное число механической редукции точного отсчета На структурной схеме применены обобщенные координаты [14]: — координаты входа (ток, напряжение или расход рабочего тела и давление на входе исполнительного устройства); — координаты выхода (линейная или угловая скорость, перестановочное усилие или вращающий момент). Схема позиционного привода составлена с учетом нелинейных характеристик трения и люфтов в редукторах. Структурная схема исполнительного элемента следящего привода изображена на рис. На схеме нагрузка представлена в виде передаточной функции, обратной из выражения (1.11).

Рис. 1.6. Структурные схемы электрического исполнительного элемента с учетом сухого трения: а — коэффициент в прямой цепи; б — коэффициент в цепи обратной связи

Интегрирующий (скоростной) следящий привод предназначен для точного управления угловой скоростью вала нагрузки. Для обеспечения высокой точности поддержания и стабильности угловой скорости вала нагрузки применяется схема электрический двигатель — тахогенератор, последний является элементом главной отрицательной обратной связи в приводе. Пусть механическая нагрузка характеризуется незначительным по величине приведенным моментом инерции и нестационарным моментом сухого трения Мстр; коэффициент тахогенератора равен

В качестве выходной физической координаты схемы рассмотрим движущий момент, который вращает вал электродвигателя, нагруженный приведенным моментом инерции с угловым ускорением

Рис. 1.7. Структурные схемы: а — схема позиционного электрического следящего привода; б — исполнительного устройства

Угловая скорость

является мгновенной скоростью вала электродвигателя и представляет собой мгновенную разность между скоростью холостого хода и величиной, характеризующей уменьшение скорости вала за счет сопротивления нагрузки. Коэффициент является коэффициентом собственного внутреннего демпфирования двигателя.

Структурная схема (рис. 1.8), полученная путем преобразования схемы интегрирующего привода, дает представление об изменении мгновенного значения скорости за счет нестационарности приведенного момента сухого трения в кинематических парах, а также в результате действия различных внутренних возмущающих моментов.

Такое явление может иметь место при малых значениях управляющего сигнала, подаваемого на вход электродвигателя, при которых вращающий момент соизмерим с моментами сил сухого трения и

другими возмущениями. Этот режим представляет интерес при рассмотрении движения нагрузки с очень малыми скоростями, нестабильность которых может оказаться существенной для нормального функционирования интегрирующего привода.

Пусть мгновенная установившаяся скорость электродвигателя привода в момент имеет значение Этому значению скорости соответствует момент равный электродвигателя при отсутствии других моментов сопротивления. Предположим, что в из-за нестационарности сил трения приведенный момент стал равен , это приведет к изменению мгновенной установившейся скорости:

Здесь не учитывается «сглаживающее» действие инерционной нагрузки, что соответствует очень малым изменениям скорости при незначительной величине приведенного момента инерции нагрузки.

Рис. 1.8. Преобразованная структурная схема исполнительного элемента с тахогенератором (интегрирующего привода)

Из рассмотрения (1.25) и (1.26) следует, что мгновенная разность угловых скоростей

может быть значительной при достаточно большом значении коэффициента умех электродвигателя, если разность моментов мала.

Теперь оценим влияние тахометрической обратной связи в интегрирующем приводе на стабильность установившейся скорости выходного вала при нестационарности сил сухого трения. Для этого, применяя правила структурных преобразований, представим схему, показанную на рис. 1.8, в виде рис. 1.9. Звенья обратной связи, охватывающие динамический элемент представляют собой параллельное соединение двух безынерционных звеньев (при

Таким образом, эквивалентная жесткость механической характеристики исполнительного двигателя, охваченного тахометрической отрицательной связью, определяется выражением

где — эквивалентная механическая проводимость.

Из соотношения (1.28) следует, что

так как для серийных электродвигателей и тахогенераторов

Аналогично для выражения (1.27) имеем

Из соотношений (1.29) и (1.31) следует, что при прочих равных условиях связью за счет нестационарности сил сухого трения меньше, чем соответствующее изменение скорости привода без тахогенератора.

т. е. мгновенное изменение установившейся скорости выходного вала интегрирующего электрического привода с тахометрической обратной

Рис. 1.9. Эквивалентная схема исполнительного элемента с тахогенератором

В идеальном случае, если

то изменение сил сухого трения, а также других возмущающих сил, действующих со стороны нагрузки, не приведет к изменению установившейся угловой скорости привода.

Коэффициенты а также и являются также нестационарными и зависят как от режима работы двигателя (положения рабочей точки на поле механических характеристик двигателя), так и

от внешних возмущений, действующих на систему (например, изменение напряжения питания, температуры и т. д.).

Для улучшения стабильности коэффициента передачи замкнутого привода к стабильности и линейности характеристик тахогенератора (как элемента отрицательной обратной связи) должны предъявляться более жесткие требования, чем к элементам прямой цепи привода.