8. КРИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ И ПНЕВМАТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ

Уравнения нелинейных сервомеханизмов и метод точечных преобразований. Для определения критического соотношения параметров в нелинейных сервомеханизмах используется аппарат точечного преобразования.

Метод точечных преобразований позволяет исследовать структуру разбиения фазового пространства системы на траектории, находить разбиение пространства параметров системы на области различного качественного состояния системы, исследовать устойчивость периодических движений, определять параметры автоколебаний, скользящих режимов и выявлять качественную картину переходных процессов при свободных колебаниях системы и при некоторых типах возмущений.

Метод опирается на кусочно-линейную аппроксимацию нелинейной характеристики системы, при которой фазовая траектория складывается из отдельных кусков, представляющих решение уравнений системы по участкам. Для исследования возможных движений системы необходимо знать либо уравнения интегральных кривых на фазовой плоскости, либо выражения координат фазовой плоскости от времени.

Для наглядности примем — фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, по осям координат которой отложены переменная и ее производная по времени. Исследуем динамику релейной системы, линейная часть которой описывается уравнением второго порядка. Релейная функция имеет вид, показанный на рис. VIII. 14, а (соответствующие обозначения приведены на рисунке).

Рис. VIII. 14. Характеристика сервомеханизма: а — статическая нелинейная характеристика; — трехлистная фазовая плоскость

Рис. VIII. 15. Фазовая плоскость сервомеханизма, содержащая предельный цикл

Фазовая плоскость будет трехлистной с наложением их друг на друга (рис. VIII.14, б). В этом случае система описывается уравнениями

где при

— выходная координата сервомеханизма;

— координата управляющего элемента;

— постоянные.

Эта система уравнений распадается на три линейных уравнения I—III, последовательно сменяющих друг друга по областям:

На каждом из листов фазовой плоскости, показанной на рис. VIII. 15, справедливо одно из этих уравнений.

Лист 1 фазовой плоскости ограничен справа и слева прямыми (линиями переключения)

отсюда:

Лист II фазовой плоскости, на котором справедливо уравнение II, ограничен слева прямой

Лист III фазовой плоскости, на котором справедливо уравнение III, ограничен справа прямой или В случае уравнение на листе будет Интегрируя это уравнение, получим:

Постоянные интегрирования определяются через начальные условия. При отсюда:

Из последних уравнений видно, что на листе изображающая точка движется по горизонтальным прямым

На листе II уравнение системы имеет вид Интегрируя его, получим

Исключая из последних выражений время получим уравнение фазовых траекторий на листе II в виде

Аналогично уравнение фазовых траекторий на листе III будет

Очевидно, что уравнения фазовых траекторий на всех трех листах можно объединить в одно:

или

Таким образом, на листах и III фазовыми траекториями являются параболы (рис. VIII. 16), симметричные относительно оси х с вершинами в точке

При фазовыми траекториями на листе I являются наклонные прямые, а на листах логарифмические кривые, которые при асимптотически стремятся соответственно к прямым (рис VIII. 17).

Рис. VIII. 16. Диаграммы точечных преобразований: точка А соответствует устойчивому предельному циклу; точка В — неустойчивому предельному циклу; точка С — полуустойчивому циклу

Рис. VIII.17. Точечное преобразование на трехлистной фазовой плоскости

Рассмотрим, как происходит переход точек полуоси при обороте изображающей точки около начала координат снова на полуось

Пусть в начальный момент изображающая точка находится на оси у в точке 1 (см. рис. VIII. 15). В соответствии с линейной системой уравнений движения, действующей на листе изображающая точка переходит по фазовой траектории на полупрямую в точку 2. Назовем переход точек полуоси на полупрямую преобразованием (отображением) Далее изображающая точка в соответствии с линейной системой уравнений на листе II переходит на полупрямую в точку 3. Этот переходназовем преобразованием . С полупрямой изображающая точка по фазовой траектории переходит на полуось в точку 4. Этот переход назовем Затем изображающая точка переходит на полупрямую в точку 5 — преобразование на полупрямую в точку 6 — преобразование , наконец, снова на полуось в точку 7 — преобразование

Таким образом, преобразование переводит точки полуоси на полуось — у, а преобразование точки полуоси — у снова на полуось т. е. преобразование переводит точки полуоси снова на эту полуось. Такое преобразование называется преобразованием полуоси у «самой в себя». Это преобразование можно записать в виде зависимости

где через обозначены ординаты точек 1 и 7.

В рассматриваемом примере проще изучать преобразование не полуоси У «самой в себя», а преобразование полупрямой «самой в себя». В этом случае преобразование представится выражением где через обозначено преобразование, соответствующее переходу точек полупрямой на полупрямую —

В тех случаях, когда фазовая плоскость симметрична относительно начала координат, достаточно исследовать только половину всего точечного преобразования т. е. преобразование полупрямой в полупрямую — В данном случае преобразование полуоси У самой в себя может быть записано в виде

Если изображающая точка после одного оборота относительно начала координат снова попадает на полупрямую (см. например, на рис. VIII. 15), то она, в зависимости от динамических свойств системы, может оказаться выше и ниже первоначального положения или совпадать с первоначальным положением. В зависимости от этого движение системы будет соответственно расходящимся, сходящимся или автоколебательным. При этом возможно, что фазовые траектории будут раскручиваться и скручиваться к замкнутым кривым — предельным циклам. Причем условием наличия предельного цикла на фазовой плоскости будет при

Для того чтобы выявить, по каким траекториям будет перемещаться изображающая точка для данной конкретной системы, необходимо исследовать последовательность точек пересечения фазовых траекторий с выбранной полупрямой при непрерывном изменении начальных условий, т. е. при повторении преобразования Эта последовательность точек пересечения фазовых траекторий с выбранной полупрямой, представленная в виде функции от начальных условий (VII 1.57), и представляет собой точечное преобразование полупрямой самой в себя.

Для изучения структуры преобразования прямой в прямую пользуются специальной диаграммой точечного преобразования (диаграмма Кенигса—Ламерея), приведенной на рис. VIII. 18.

В работе [3] преобразование прямой самой в себя записывается в общем виде уравнениями

где — текущее начальное значение ординаты у, взятое на линии переключения

— значение ординаты взятое на линии переключения с обратным знаком;

— значение ординаты у через один обход изображающей точки вокруг начала координат.

Функции (VIII.58) иначе называют функциями соответствия.

Диаграмма точечного преобразования характеризует взаимное расположение какой-либо выбранной кривой или прямой проведенной из начала координат под углом 45° с кривой , представляющей точечное преобразование полупрямой самой в себя. Точки пересечения этих двух кривых или прямой и кривой являются неподвижными точками данной фазовой плоскости, определяющими наличие предельных циклов. От числа точек пересечения зависит количество возможных предельных циклов. Взаиморасположение этих кривых или прямой и кривой позволяет решить вопрос о структуре разбиения фазовой плоскости на траектории, об устойчивости положения равновесия и периодических колебаниях системы. Чтобы определить, какому типу предельного цикла соответствует точка пересечения кривой с прямой надо взять на оси абсцисс начальную точку или сначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. VIII. 18, а. Таким образом, расположение и вид кривой и прямой определяют также характер протекания переходных процессов при свободных колебаниях системы. В данном случае процесс сходится с обеих сторон к точке пересечения, следовательно, на рис. VIII. 18, а имеет место устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательному процессу в системе. Здесь асбцисса точки пересечения дает амплитуду автоколебаний.

Иногда бывает трудно математически выразить функцию точечного преобразования полупрямой самой в себя и оказывается проще исследовать две кривые, одна из которых представляет функцию точечного преобразования положительной полуоси в какую-либо прямую, а другая — функцию точечного преобразования отрицательной полуоси втуже полупрямую. Тогда взаиморасположение этих кривых также дает ответ о структуре разбиения фазового пространства на траектории, а число точек пересечения их дает ответ о количестве предельных циклов в системе. Другие возможные типы диаграмм точечного преобразования показывают, что рис. VIII 18,6 соответствует неустойчивому предельному циклу; он ограничивает область начальных условий при которых система устойчива относительно установившегося состояния с постоянным значением регулируемой величины При начальных же условиях выходящих за контур этого предельного цикла, система становится неустойчивой, т. е. система устойчива в малом и неустойчива в большом.

Рис. VIII. 18, в соответствует наличию двух предельных циклов, из которых меньший неустойчив, а больший устойчив. Таким образом, при начальных условиях расположенных внутри первого

предельного цикла, система устойчива, как и в предыдущем случае, а при всяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательному процессу, который определяется вторым предельным циклом.

Рис. VIII. 18. (см. скан) Диаграмма точечных преобразований (6 основных случаев)

Этот случай может выродиться в случай, изображенный на рис. VIII. 18, г, когда оба предельных цикла сливаются в один пол у устойчивый, который при малейшем изменении параметров может перейти в устойчивый предельный цикл, соответствующий

устойчивым периодическим колебаниям или к затухающим колебаниям. Характерным для полуустойчивого цикла является то, что фазовые траектории «наматываются» на него только снаружи, а внутри траектории «сматываются», т. е. изображающая точка движется к «отрезку покоя». Подобные особые случаи называются бифуркационными. Соотношение параметров, при котором система находится на границе устойчивости, обычно называется критическим. Поэтому бифуркационные значения параметров соответствуют критическому соотношению их и определяют в пространстве параметров границу, разделяющую его на области устойчивости и автоколебаний. Знание расположения границ в пространстве параметров позволяет сделать вывод относительно выбора параметров данной системы с тем, чтобы либо получить устойчивую систему, либо, наоборот, вызвать ее автоколебания с определенной амплитудой и частотой для улучшения ее динамических свойств. Варьируя параметрами системы, можно получить такое расположение кривых (или кривой и прямой), при котором переходные процессы системы приближаются к требуемому виду.

Наконец, на рис. VIII. 18, д изображены случаи, когда на диаграмме точечного преобразования кривая не пересекается с прямой, проведенной под углом 45° к осям. Это означает соответственно устойчивость (рис. VIII. 18, д) и неустойчивость (рис. VIII. 18, е) системы при любых начальных условиях, для которых справедливы исследуемые уравнения системы.

В заключение отметим, что метод точечных преобразований дает не только качественный, но и количественный ответ на вопрос о возможных способах разбиения фазового пространства на траектории при тех или иных значениях параметров и о характеристике возможных автоколебаний исследуемых систем. Этот метод является точным с такой степенью точности, с какой исследуемая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями и соответствующими характеристиками.

Для систем выше второго порядка вместо фазовой плоскости придется иметь дело с фазовым пространством и с точечным преобразованием не линий, а поверхностей. Исследование систем, описываемых уравнениями выше третьего порядка, связано со значительными математическими трудностями.

При исследовании сложных систем методом точечных преобразований не всегда удается определить функцию соответствия в явном виде. В этом случае используют графики обратных функций соответствия:

где функция является обратной по отношению к функции . Точки пересечения графиков функций (VIII.59) определяют неподвижные точки изображения Т.

Теперь рассмотрим более подробно два способа определения функций соответствия, когда известны уравнения фазовых траекторий, а также когда известны выражения фазовых координат в зависимости от времени и начальных условий

Предположим, что в рассматриваемом примере, в котором линейная часть системы описывается уравнением второго порядка, а нелинейность имеет вид, приведенный на рис. VIII. 14, а, необходимо определить точечное преобразование полупрямой в полупрямую — при известном уравнении фазовых траекторий на листе

Пусть в начальный момент времени изображающая точка с координатами находится на полупрямой . Из уравнения прямой найдем

Координаты точки могут быть определены как координаты точки пересечения фазовой траектории (VIII.60) с прямой уравнение которой имеет вид

Для этого из системы уравнений

необходимо найти как функцию или, обозначая , а запишем искомую функцию соответствия в виде

Во многих практических задачах решение уравнения (VIII.61) затруднительно. В этом случае функция соответствия может быть определена вторым способом, т. е. по известным выражениям фазовых координат как функций времени и начальных условий

Полагая по-прежнему, что в начальный момент времени изображающая точка находится на прямой с координатами и что найдем

Через некоторое время при фазовая траектория пересечет прямую в точке с координатами выражения которых на основании (VIII.62) можно записать в виде

Используя уравнение линии переключения перепишем первое уравнение системы (VIII.63) в виде

откуда Окончательно система уравнений (VIII.63) примет вид

Решая систему уравнений (VIII.64) относительно получим

Выражения (VIII.65) определяют точечное преобразование полупрямой в полупрямую — в параметрической форме.

Применим изложенную выше методику для ранее рассмотренного примера. Если фазовая плоскость симметрична относительно начала координат, то это позволяет ограничиться построением точечного преобразования полупрямой в симметричную ей полупрямую.

Положим, что изображающая точка в начальный момент времени при располагается на полупрямой с координатами Построим преобразование полупрямой в полупрямую — которое обозначим через где — соответственно преобразование полупрямой в полупрямую и полупрямой в полупрямую — Преобразование полупрямой самой в себя обозначим через где — преобразование полупрямой в полупрямую полупрямой в полупрямую

Фазовая траектория листа проходящая через начальную точку пересечет прямую при Для определения функции соответствия найти связь между ординатами Из уравнения фазовых траекторий (VIII.55) следует, что Последовательно, последнее выражение и есть искомая функция соответствия. Найдем далее из точки с координатами ухфазовая траектория идет по листу II и пересекает прямую в точке с координатами Из уравнения прямой и уравнения фазовых траекторий на листе II (VIII.56) находим

Заменяя в последнем выражении его значением, найденным из выражения (VIII.54), получим уравнение

которое можно переписать в виде

или

Из последнего выражения определим функцию соответствия преобразования в виде

Следовательно, функция соответствия преобразования полупрямой в полупрямую будет иметь вид

где

Пусть и изменяется от 0 до . В соответствии с этим величина изменяется от до (см. рис. VI 11.19). Причем при при При

Рис. VIII. 19. Диаграммы точечных преобразований: а — при больших значениях ; б — при малых

Поскольку то прямая — и является асимптотой кривой .

Возможные виды диаграммы точечного преобразования приведены на рис. VIII.19. На рис. VIII.19, a , что соответствует относительно большим значениям коэффициента Р, а на рис. 19, б и , что соответствует относительно малым значениям коэффициента Подставляя в уравнение (VIII.68) найдем единственную неподвижную точку преобразования

Из рис. VIII.19 видно, что эта неподвижная точка пересечения кривой с прямой соответствует на фазовой плоскости устойчивому предельному циклу. Причем в случае в системе устанавливается автоколебательный режим и в окрестностях точки пересечения фазовая траектория имеет характерный вид, показанный на рис. VIII.19, а. К состоянию автоколебаний система подходит в скользящем режиме.

Из уравнения (VIII.68) следует, что при система становится устойчивой в большом, а при но при система становится абсолютно неустойчивой.

Критическое соотношение параметров. Если при изменении какого-либо параметра сервомеханизма на бесконечно малую величину качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории существенно изменяется, то такое соотношение параметров называется бифуркационным. Так, например, на рис. VIII. 18, г соотношение параметров сервомеханизма является бифуркационным. Действительно, при изменении любого из параметров сервомеханизма на диаграмме из одного полуустойчивого цикла появляются либо два (один устойчивый и один неустойчивый), либо цикл пропадает и сервомеханизм становится устойчивым.

В самом общем случае бифуркационных соотношений параметров для одного и того же сервомеханизма может быть несколько. Обычно одно из них соответствует случаю, когда в сервомеханизме остается только один предельный цикл. Если при увеличении параметра, характеризующего стабилизирующее воздействие в сервомеханизме, единственный предельный цикл исчезает и сервомеханизм становится устойчивым, то такое бифуркационное соотношение параметров называется критическим.

Критическое соотношение по своему определению соответствует необходимому и достаточному условию устойчивости сервомеханизма.

Рис. VIII.20. Вырожденный предельный цикл

Для отыскания бифуркационного и критического соотношения параметров необходимо провести математический анализ кривых точечного преобразования и Этот анализ включает в себя определения числа возможных точек пересечения линий и и соотношений параметров, при которых указанные кривые имеют общую касательную. В точках касания, очевидно,

Выражение (VIII.69) позволяет найти бифуркационные соотношения параметров только для сервомеханизмов с полуустойчивыми предельными циклами. В других случаях бифуркационное соотношение параметров получается из уравнения , если принять в нем где — величина координаты у точки на преобразуемой полупрямой, из которой фазовая траектория идет на край зоны нечувствительности (рис. VIII.20).

Решение приведенных выше уравнений (VIII.69) обычно является весьма трудной задачей. Отыскать бифуркационное соотношение параметров из выражения значительно проще и в большинстве случаев оно может быть найдено в общем виде. Для этих целей можно воспользоваться так называемым вырожденным предельным циклом, т. е. циклом, проходящим по краям зоны нечувствительности [3].

Нахождение бифуркационного соотношения параметров с помощью вырожденного предельного цикла не требует построения точечного преобразования прямой в прямую и заключается в следующем. Из уравнений движения находят ординату точки на некоторой выбранной прямой, из которой фазовая траектория приходит на край мертвой зоны (рис. VIII.20). Эту величину мы обозначили ранее через Далее по уравнениям движения определяют ординату точки на той же прямой после того, как фазовая траектория пересечет ее снова. Затем приравнивается и находится соотношение параметров, при которых справедливо это равенство. Для симметричных задач можно ограничиться половинным преобразованием, т. е. приравнивать

При этом необходимо учитывать, что найденное с помощью предельного вырожденного цикла бифуркационное соотношение параметров является критическим только в том случае, если в системе возможен лишь один устойчивый предельный цикл.