4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРИВОДА

В наиболее общем случае для анализа движения дискретного привода с ШД необходимо ввести в рассмотрение следующие факторы: нерегулярность входных воздействий, переходные процессы в усилителе мощности, электромагнитные переходные процессы в шаговом электродвигателе, а также учитывать динамику демпфера.

Методы синтеза автономного дискретного привода достаточно широко освещены в литературе (например, [2, 9]). Значительно меньше изучено влияние на динамику привода переходных процессов в усилителе мощности и нерегулярности входных воздействий.

Рассмотрим работу дискретного привода на сравнительно низких частотах при условии высокой степени форсирования тока при включении и дефорсирования при отключении. Тогда в первом приближении анализ может быть выполнен без учета переходных процессов в усилителе мощности и без учета электромагнитных переходных процессов в обмотках. При этих допущениях уравнения движения ШД с демпфером сухого трения будут:

где — угол поворота ротора ШД и демпфера, эл. рад.;

— безразмерное время,

— относительный момент нагрузки и демпфера сухого трения,

— относительный момент инерции демпфера сухого трения;

— момент инерции ротора ШД;

— безразмерный коэффициент внутреннего демпфирования;

— относительный вращающий момент ШД;

— ступенчатая функция угловой координаты оси результирующей намагничивающей силы фаз (положения устойчивого равновесия),

— коэффициент электромагнитного демпфирования,

число зубцов ротора;

где — символ, обозначающий целую часть функции;

— нормализованная круговая частота управления;

— число тактов коммутации.

Как видно, даже в простейшем случае уравнения (VI.10) имеют существенно нелинейный характер. Поэтому их решение целесообразно выполнить на

Основное требование к приводу с ШД — уменьшение амплитуды колебаний ротора и обеспечение устойчивости движения в резонансных режимах при сохранении высоких динамических показателей. Сложность проблемы заключается в том, что получение высокой приемистости дискретного привода возможно только при резком форсировании управляющих воздействий и скорости нарастания вращающего момента, что, в свою очередь, приводит к возрастанию колебательного процесса движения. Поэтому кроме регулирования степени форсирования переднего и заднего фронта импульса тока фазы в шаговых электродвигателях устанавливается инерционный демпфер. Демпфер создает вращающий момент только при изменении скорости ШД, в установившемся режиме демпфер не поглощает мощности. Это свойство позволяет эффективно использовать демпфер в приводе, так как в квазистатическом и резонансном режимах ШД имеет существенный запас по моменту, а на высоких частотах, когда момент падает, колебания ротора практически отсутствуют.

В классической теории колебаний метод расчета инерционного демпфера исходит из условия максимального рассеяния энергии в резонансном режиме. Энергетический метод расчета основан на рассмотрении работы возмущающих и демпфирующих сил на частоте собственных колебаний. При этом получены следующие простые соотношения для демпфера сухого трения:

где — момент инерции демпфера;

— амплитуда колебаний ротора;

— собственная частота вращения;

— момент сухого трения демпфера;

— максимальный синхронизирующий момент ШД на частоте

Приведенный метод можно применить только для предварительной оценки параметров демпфера, так как рассматривается только один резонансный режим и не учитывается влияние демпфера на приемистость и максимальную частоту. Параметры демпфера должны быть

определены с учетом частоты приемистости по уравнениям (VI. 10) — (VI. 11).

Блок-схема аналоговой модели, составленной на основании уравнений (VI. приведена на рис. VI. 18. Для анализа динамической устойчивости уравнения движения необходимо решать относительно угла поворота ротора ШД.

Рис. VI. 18. Блок-схема модели ШД и демпфера с управлением от стартстопного трансмиттера: — резисторы, определяющие коэффициенты операционных усилителей; — резисторы; С — конденсатор; — блок нелинейности; — блок сравнения; 1—10 — операционные усилители-интеграторы

В связи с тем, что угол непрерывно возрастает, уравнения на АВМ следует решать в системе дискретно-перемещающихся координат, жестко связанной с полем статора. При этом конечные условия предыдущего шага и начальные условия последующего шага связаны соотношением:

Примеры полученных при моделировании фазовых портретов привода и функции динамической ошибки в дискретно смещающейся системе координат для резонансного режима приведены на рис. VI. 19.

Введение нормализованных параметров позволяет расширить применимость результатов и получить семейство универсальных динамических характеристик. Пример их приведен на рис. VI.20. Расчет демпфера должен выполняться с учетом «ухода» собственной резонансной частоты, возникающего при установке демпфера. Как видно из рис. VI. 19 и VI.20, при оптимальных параметрах демпфера амплитуда

колебаний ротора существенно снижается. Величину относительного момента инерции демпфера следует принимать не менее

Рис. VI. 19. Фазовые портреты и кривые ошибок резонансных режимов ШД: — относительная величина вращающего момента: а — на частоте без демпфера; б — на новой резонансной частоте с демпфером в — на частоте с тем же демпфером

Установка инерционного демпфера приводит к снижению частоты приемистости. На основании результатов моделирования определена следующая эмпирическая зависимость:

где — безразмерная частота приемистости холостого хода до и после установки демпфера;

— безразмерное время;

— эмпирический коэффициент пропорциональности. Например, при

Демпфер, рассчитанный по приведенной выше методике, также эффективно снижает колебания при девиации управляющей частоты.

Причины, вызывающие изменение управляющей частоты (девиацию частоты), можно разделить на две группы — детерминированные и стохастические. Детерминированные «уходы» частоты обусловлены погрешностями аппаратуры кодово-импульсных электронных преобразователей.

Стохастические изменения периода следования управляющих импульсов возникают при введении в систему контура автоматической коррекции погрешностей либо по различным случайным причинам (изменение напряжения питания и т. д.).

Рис. VI.20. Относительная амплитуда колебаний ротора на резонансной частоте собственных колебаний и новой резонансной частоте с учетом демпфера (пунктирные кривые) при где — амплитуда колебаний ротора относительно точки устойчивого равновесия

Опыт эксплуатации дискретного привода показал, что девиация управляющей частоты существенно влияет на колебания привода независимо от величины несущей частоты, на которой она возникает. Для оценки этого явления необходимо исходить из наихудшего, в отношении точности и устойчивости дискретного привода, сочетания частот. Предложенный метод анализа основан на том, что наибольшее возмущение в движении ШД девиация частоты вызывает при воздействии с периодом, равным или кратным периоду собственных колебаний привода. Это позволяет применить детерминированный подход и представить нерегулярную ступенчатую функцию управления как алгебраическую сумму двух регулярных ступенчатых функций, имеющих одинаковый шаг квантования по уровню, но различный период квантования (рис. VI.21):

где — соответственно круговая частота девиации и круговая частота управления без учета девиации.

В свою очередь каждую из регулярных ступенчатых функций можно представить в виде линейной и периодической функции времени (рис. VI.21, в). Раскладывая периодическую составляющую в ряд Фурье, получим

где — номер гармоники тригонометрического ряда;

с — коэффициент пропорциональности.

Текущее значение динамической ошибки определится разностью

Аналитическое определение функции ошибки движения ротора ШД на основе уравнения (VI.17) разрешимо лишь в линейном приближении, причем это связано с громоздкими математическими выкладками. Поэтому анализ поведения привода выполнялся с помощью моделирования на Шаговый электродвигатель рассматривался совместно с демпфером.

Рис. VI.21. Представление нерегулярной ступенчатой функции в виде суммы двух регулярных функций: а — последовательность управляющих импульсов; — графическое разложение функций в — циклические составляющие регулярных функций — период и частота девиации; — значение управляющей частоты без учета девиации; — максимальное и минимальное значения периода управляющей частоты

Поскольку девиация возникает только на частотах, меньших частоты приемистости (ускоренные ходы выполняются по одной координате либо от автономного генератора), решались уравнения (VI.10), (VI.16), не учитывающие электромагнитных постоянных времени. Для получения при моделировании непериодических входных воздействий была разработана система управления АВМ от кодированных на перфоленте команд. Эта система реализовала принцип гибридных вычислительных машин, поскольку расчет и изготовление перфоленты может выполняться на ЦВМ и автоматически вводится в трансмиттер управления Более того, программа управления АВМ может корректироваться в процессе моделирования по каналам связи Это открывает широкие возможности анализа и поиска оптимальных решений.

Проведем на модели комплекс исследований дискретного привода при нерегулярных входных воздействиях. Для иллюстрации на рис. VI.22 показано изменение фазового портрета и скорости,

(кликните для просмотра скана)

вызванное девиацией управляющей частоты с периодом, равным периоду собственных колебаний (здесь и далее Девиация частоты привела к увеличению динамической ошибки в 3 раза. Влияние девиации частоты еще более наглядо при рассмотрении траектории движения ротора ШД (рис. VI.23).

Рис. VI.23. (см. скан) Пуск дискретного привода на при отсутствии (а) и наличии (б) девиации управляющей частоты

В случае равномерного поступления управляющих импульсов (рис. VI.23, а) привод фильтрует шумы квантования и его траектория движения спрямляет ступенчатую функцию входного воздействия. При наличии девиации привод колеблется с резонансной частотой (рис. VI.23, б). Кривые, изображенные на рис. VI.23, б, получены при параметрах привода, соответствующих рис. VI.22. Кривые построены путем «сшивки» отдельных участков траектории по полученным при моделировании величинам динамической ошибки. При установке демпфера динамическая ошибка уменьшается от до 1,5. Разработанная модель позволяет также

получить величины ошибок при одновременном движении по двум координатам. На рис. VI.24 приведены зависимости для пуска при двухкоординатном движении по прямой и наличии девиации частоты по одной из координат (случай управления от линейно-кругового интерполятора с оценочной функцией).

Итак, факт возникновения наибольшей ошибки в случае девиации с периодом, равным периоду собственной частоты привода, подтверждается выполненными исследованиями: при отходе от резонансной частоты погрешность падает, несмотря на сохранение отношения максимального периода управляющих импульсов к минимальному, определяющего величину девиации (рис. VI.25, а; характеристики сняты без демпфера).

Рис. VI.24. Пуск при двухкоординатном движении по прямой: а — управляющие импульсы по координатам X, Y; б — кривые перемещения; 1 — программируемая прямая; 2 — идеальная траектория; 3 — действительная траектория; — дискреты (перемещение на один импульс) по координатам X, Y; — максимальное отклоненйе от траектории

По результатам моделирования получено семейство кривых, определяющих погрешности, вызванные девиацией для практически реализуемого диапазона изменения нормализованных параметров привода (коэффициента внутреннего демпфирования, нагрузки и т. д.). На рис. VI.25, б приведен пример таких зависимостей, из которых следует, что инерционный демпфер, рассчитанный по приведенной выше методике, эффективно снижает вибрации, вызванные девиацией управляющей частоты. Это следует также из рассмотрения траектории движения привода (рис. VI.26 и VI.27). Результаты анализа позволяют установить ограничения по девиации частоты интерполяторов (кодовых преобразователей) для различных условий эксплуатации дискретного привода.

(кликните для просмотра скана)