3. ПОРШНЕВЫЕ ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ ДВИГАТЕЛИ

Принципиальная схема поршневого пневматического двигателя показана на рис. XI.4. В данном случае изменение объема рабочих полостей пропорционально перемещению штока. При этом добавочный объем может быть сведен к минимуму, определяемому только объемом трубопроводов. Повторяя предыдущие рассуждения, получим следующие формулы для объемов первой и второй рабочих полостей:

где - площадь поршня;

— диаметр поршня (цилиндра);

— диаметр штока.

Анализируя выражения (XI.8), (XI.11), (XI.12), заметим, что их достаточно просто унифицировать, если ввести понятие «эффективная площадь по изменению объема», обозначаемую как

Тогда уравнения изменения объемов рабочих полостей пневматического двигателя статического действия будут одними и теми же для любого его типа:

При анализе работы пневматического двигателя статического действия мы имеем дело с четырьмя переменными величинами: давлениями и температурами в первой и во второй рабочих полостях. Поэтому для полного описания процессов, происходящих в газовом двигателе, необходимо иметь четыре уравнения. В качестве этих уравнений могут быть взяты уравнения сохранения расхода и уравнения сохранения энергии для каждой рабочей полости [12], [13]. Для пневматического привода статического действия эти уравнения имеют вид:

где — весовые расходы втекания газа в первую и вторую рабочие полости;

— весовые расходы вытекания газа из первой и второй рабочих полостей;

— вес газа в первой и второй рабочих полостях;

— удельные приходы энергии в первую и вторую рабочую полости;

— удельные расходы энергии из первой и второй рабочей полостей;

— энергия газа в первой и второй рабочих полостях.

В развернутой форме при адиабатическом характере процессов в рабочих полостях уравнения (XI. 15) имеют вид:

где — удельный вес;

— показатель адиабаты.

Решение нелинейной системы второго порядка (XI. 16) крайне сложно, кроме того, входящие в уравнения сохранения энергии удельные расходы и приходы энергии являются переменными величинами, зависящими от характера теплообмена между горячим газом и металлом конструкции пневматического привода. Поэтому уравнения (XI. 16) могут быть использованы в инженерной практике только при моделировании системы пневматического привода на аналоговых ЭВМ высокого класса.

Линеаризацию нелинейных уравнений пневматического двигателя можно произвести на основании тех же допущений, которые принимались при линеаризации уравнения пневматических усилителей всех типов [23].

Допущение о постоянстве температуры в полостях газового двигателя, т. е.

соответствует изотермичности процессов в полости Кроме того, введение коэффициента

где — показатель политропы в полости;

— температура на входе, учитывает уравнение сохранения тепловой энергии. Тогда две переменные остаются связанными двумя уравнениями сохранения весового расхода:

Учитывая, что при

где — газовая постоянная;

— давление в полости, а также принимая во внимание уравнения (XI. 14), получим:

Вычитая из первого уравнения системы (XI. 18) второе, найдем

Принимая второе допущение о равенстве абсолютных величин приращений давления

получим

Перепишем уравнение (XI.19) в безразмерном виде:

где — безразмерные разность расходов, перемещения штока и перепад давлений соответственно;

давление на входе;

— безразмерное равновесное давление;

постоянная времени двигателя;

— коэффициент использования объема.

Выше отмечалось, что выходной безразмерной величиной пневматического двигателя является

где — усилие на штоке;

— максимальное усилие.

Рис. XI.11. Структурные схемы пневматических двигателей: а — поршневого; б — аксиально-поршневого и газомбторного; в — турбинного

Введя обозначение — эффективная площадь по усилию, можно записать, что для любого двигателя статического действия

где — для мембранного двигателя;

— сильфонного двигателя;

— поршневого двигателя; причем

тогда

После несложных преобразований получим окончательное уравнение пневматического двигателя статического действия:

Производя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, найдем уравнение пневматического двигателя в операторной форме:

или

На основании последнего уравнения построена структурная схема пневматического двигателя статического действия, показанная на рис. XI.11, а, где входом является величина а член характеризует влияние нагрузки.

В тех случаях, когда температуры в полостях изменяются значительно и принятые выше допущения некорректны, можно применить линеаризацию уравнений пневматического усилителя и пневматического двигателя для случая малых отклонений от стационарного положения, предложенную в работах [12], [13], [14].

Отметим, что при этом система линеаризованных уравнений пневматического двигателя имеет второй порядок. Кроме того, допущение о малых отклонениях не позволяет создать линейную динамическую модель пневматического привода, хорошо описывающую его работу в большом диапазоне изменения переменных величин