Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВСтруктурная схема исполнительного устройства САР или САУ представляет собой графическое отображение статических и динамических особенностей звеньев, входящих в состав схемы, и математические связи между ними. Структурная схема исполнительного устройства может быть задана во временной области, в которой особенности преобразования сигналов описываются в общем случае линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями. В области преобразований или изображений по Лапласу или Фурье при структурном представлении исполнительных устройств используются алгебраические соотношения. Наибольшее распространение получили линейные и линеаризованные структурные схемы с постоянными параметрами, в которых свойства исполнительных элементов задаются их передаточными функциями. Такой подход использован в § 2 настоящей главы. Для расчета нелинейных электрических исполнительных устройств применяются функциональные структурные схемы. Однако структурные методы в этом случае имеют существенные ограничения, так как принцип суперпозиции для нелинейных систем несправедлив. При эскизном или техническом проектировании исполнительных устройств широкое распространение получил способ, основанный на предварительном преобразовании структурных схем [14]. Этот способ заключается в составлении структурной схемы сложной, например многоконтурной системы, и последующем ее преобразовании к эквивалентной одноконтурной системе при помощи правил структурного преобразования. Его преимущество заключается в том, что громоздкое формальное решение совместных уравнений заменяется наглядными преобразованиями, имеющими геометрическую интерпретацию и уменьшающими возможности ошибок. Структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя. Полная структурная схема несимметричного двухфазного асинхронного электродвигателя как нелинейной системы на переменном токе может быть составлена в соответствии с дифференциальными уравнениями, полученными в работе [10]. Эти уравнения, записанные в операторной форме, имеют следующий вид:
где
Уравнения 1 и 2 системы (1.64) описывают электромагнитные процессы в статорных обмотках электродвигателя. Уравнения 3 и 4 учитывают связь между магнитными потоками статора и ротора, а также скорость вращения ротора. Наконец, уравнение 5 представляет собой уравнение моментов и описывает динамику ротора. Совместному решению системы уравнений соответствует полная структурная схема во временной области (рис. 1.17). Общая структурная схема как математическая модель двухфазного электродвигателя имеет два входа
Рис. 1.17. Полная структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя Во-вторых, эта схема является базовой для составления детализированной структуры во временной области, содержащей, например, только усилительные и интегрирующие звенья [16]. Такая детализированная схема может быть непосредственно использована для набора задачи, настройки и моделирования динамики асинхронного электродвигателя на аналоговой вычислительной машине. Составим частные схемы моделирования асинхронного электродвигателя в области временного аргумента, соответствующие уравнениям системы (1.64). Решив уравнения 1 и 2 системы (1.64) относительно токов ротора (кликните для просмотра скана) рис. 1.17 и 1.18 нелинейная операция — умножение соответствующих переменных величин — изображается множительным блоком. Такого рода машинное проектирование позволяет исследовать как физические процессы, протекающие в электродвигателе, так и различные режимы работы его в системе автоматического регулирования с учетом нагрузки в общем случае при ненулевых начальных условиях. Метод гармонического баланса. Этот метод с успехом применяется для проектирования и исследования разнообразных электрических исполнительных устройств, описываемых системой линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.
Рис. 1.19. Нелинейные характеристики электрического привода: а — механические характеристики электродвигателя при различных значениях управляющего напряжения; б — характеристика сухого трения Ниже исследуется влияние параметров нелинейного электрического привода на устойчивость и автоколебательный процесс методом гармонического баланса при наличии в системе нелинейных падающих механических характеристик (рис. 1.19, а) и сложных характеристик трения, зависящих от скорости (рис. 1.19, б). Линейная часть системы имеет третий порядок. Кривые 1—3 на рис. 1.19, а получены при управляющем напряжении: Структурная схема рассматриваемой нелинейной системы показана на рис. 1.20, а. Аналитически нелинейные звенья системы аппроксимируются следующими уравнениями: механические характеристики электродвигателя уравнением (рис. 1.17)
где
где с — коэффициент, характеризующий превышение момента трения покоя над минимальным моментом трения движения;
Как следует из полученных выражений, соответствующие нелинейности, описываемые уравнениями (1.65), (1.66) или (1.65), (1.67) от одной переменной
Рис. 1.20. Структурная схема системы с электрическим исполнительным элементом: а — нелинейная схема, Поэтому коэффициент гармонической линеаризации системы определяется в виде суммы коэффициентов гармонической линеаризации нелинейных характеристик (1.65), (1.66) или (1.65), (1.67). Для нелинейностей (1.65), (1.66), (1.67) коэффициенты гармонической линеаризации имеют следующий вид:
где А — амплитуда гармонических автоколебаний в системе; В — коэффициент, зависящий от амплитуды Уравнение электродвигателя с учетом коэффициентов гармонической линеаризации
или
где
Уравнение остальной части системы (1.65)
В соответствии с выражениями (1.72), (1.71) характеристическое уравнение системы имеет вид
где После подстановки в уравнение
Решение уравнения (1.74) относительно со связывает частоту автоколебаний с параметрами системы, т. е.
С учетом соотношения (1.75) из уравнения (1.74) получим выражение коэффициента усиления разомкнутой системы:
Коэффициент К относительно параметра а
где
причем Таким образом, значение К не равно нулю ни при каких соотношениях параметров Задавая различные значения А в выражении а Кривая 1 показывает характер изменения величины К при релейной зависимости момента трения от
где При некулоновом трении аналитическая зависимость
Рис. 1.21. График зависимости амплитуды автоколебаний от коэффициента усиления системы при различных аппроксимациях характеристики трения: 1 — кривая для релейной аппроксимации; 2 — при аппроксимации по формуле (1.67); 3 — при аппроксимации по формуле (1.66); На рис. 1.22, а показано влияние с на значение Из анализа графиков, изображенных на рис. 1.21, можно сделать следующие выводы. Кривая 2, описываемая формулой (1.67), занимает промежуточное положение при аппроксимации трения функцией, имеющей вид идеальной релейной кривой, и функцией соответствующей формуле (1.66). Возрастание величины трения (коэффициента с) на малых скоростях (рис. 1.22, а) приводит к расширению зоны устойчивой работы, а увеличение крутизны падающего участка (коэффициента Границы зоны определяются аналогично рис. 1.21 (кривые 1-31 Рассмотрим характер изменения автоколебаний в зависимости от коэффициента усиления разомкнутой системы, структурная схема которой изображена на рис. 1.23, при наличии в ней нелинейностей вида (1.66).
Рис. 1.22. График зависимости амплитуды автоколебаний от коэффициента усиления системы: а — при различных значениях коэффициента С; б — при различных коэффициентах В работах [12, 13] показано, что в системе второго порядка указанные нелинейности не приводят к автоколебаниям.
Рис. 1.23. Структурная схема системы с электрическим исполнительным элементом Линеаризованное уравнение нагруженного электродвигателя остается без изменений:
Уравнение остальной линейной части системы имеет следующий вид:
После разрешения характеристического уравнения системы относительно вещественной и мнимой частей получим систему уравнений
где Из соотношения (1.80) находим выражение для частоты автоколебаний
Выражение для К из уравнения (1.80) с учетом соотношения (1.78) примет вид
Уравнение (1.82) может быть записано в виде квадратичного трехчлена:
Коэффициенты
Из выражения (1.83) следует, что при любых
Рис. 1.24. График зависимости амплитуды автоколебаний от коэффициента усиления системы при различных значениях коэффициента а Из уравнения (1.87) характер зависимости амплитуды автоколебаний от общего коэффициента усиления системы для различных сочетаний параметров системы имеет вид, изображенный на рис. 1.24. Кривые Метод пространства состояний. Описание исполнительного устройства переменными состояния. Математическая модель исполнительного устройства может быть представлена в виде линейной стационарной системы, которая описывается совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, задаваемой в следующей векторно-матричной форме [16]:
где А — матрица коэффициентов;
Векторы Если входные переменные рассматривать совместно с переменными состояния исполнительного устройства, то вектор Пусть заданы ненулевые начальные условия состояния исполнительного устройства, т. е. вектор
или
Из соотношения (1.91) следует, что изображение вектора состояния
В результате применения к уравнению (1.92) обратного преобразования Лапласа найдем
или
где Матрица перехода 1. Непосредственным применением обратного преобразования Лапласа
2. Решением уравнения (1.88), действительно
сравнивая это соотношение с выражением (1.94), получим
3. Вычислением реакций
где первый индекс при а указывает координату, по которой измеряется реакция системы, а второй индекс — координату, по которой производится возбуждение системы единичной функцией Таким образом, выражение (1.94) является общим решением векторно-матричного уравнения состояния. Компоненты вектора Особенности расчета исполнительных устройств методом пространства состояний. Метод пространства состояний дает возможность исследовать динамические возможности системы как во временной области, так и на фазовой плоскости. Представление системы ее схемой в переменных состояния не является единственным, т. е. для одной и той же системы можно составить несколько схем, которые будут отличаться природой фазовых координат, выбранных в качестве переменных состояния. Для построения фазового портрета исследуемого исполнительного устройства нужно таким образом составить расширенный вектор Метод пространства состояний позволяет унифицировать процесс анализа и синтеза сложных структурных схем динамических систем. Это дает существенные преимущества для программирования и решения задач на ЦВМ. Формальной основой для реализации метода пространства состояний на ЦВМ является, во-первых, возможность применения векторно-матричного математического аппарата к дискретным системам, во-вторых, возможность замены реальной расчетной схемы исполнительного устройства эквивалентной дискретной системой с некоторым постоянным тактом квантования Т и экстраполятором сигналов. При решении нелинейных задач вводят в рассмотрение два ключа (или более двух) с разными, но кратными тактами замыкания (например, Известно [16], что
и
где Т — период квантования сигналов в системе; В — квадратная матрица, определяемая из рассмотрения схемы системы в переменных состояния. Соотношение (1.100) является рекуррентным и может быть использовано для вычисления последовательных значений переменных состояния исполнительного устройства в моменты квантования. Обозначим:
тогда
или
Придавая
Комбинируя уравнения (1.104) и производя упрощения, находим
Применяя к выражению (1.105)
Далее комбинируя уравнения (1.106) и (1.105), получим
Учитывая соотношение
Наконец, применяя обратное
Выражение (1.110) является общим решением уравнения состояния эквивалентной дискретной схемы исполнительного устройства. Из этого выражения могут быть определены переменные состояния системы в последовательные моменты квантования, если известны расширенная матрица перехода вида (1.95) и матрица В, а также заданы воздействия и начальные условия. Представление вектора состояния в соответствии с выражением (1.110) позволяет анализировать устойчивость рассматриваемой системы аналитическим методом. Действительно, если
то характеристическое уравнение системы записывается в виде
Рассматриваемая система является устойчивой, если корни уравнения (1.111), находящиеся на комплексной плоскости Структурную схему нелинейной системы, учитывающую те или иные нелинейные характеристики исполнительного устройства, можно рассматривать как схему с переменным («мгновенным») коэффициентом йуаг, который принимает различные дискретные значения на соответствующих интервалах квантования в зависимости от вида статической характеристики нелинейного элемента эквивалентной дискретной системы [16]. Пусть входной координатой нелинейного элемента-усилителя с коэффициентом
где В соответствии с выражением (1.94) для момента времени
где матрица перехода Из уравнения (1.113) следует, что искомый вектор состояния эквивалентной системы, использующей метод пространства состояний совместно с методом переменного коэффициента усиления. Методы коррекции эквивалентной нелинейной системы, учитывающей нелинейные характеристики исполнительного устройства, изложены в работах [3], [16]. Рассмотрим на примере двух типовых схем исполнительных устройств, имеющих нелинейные характеристики Схема I. Структура нелинейной системы и схема в переменных состояниях показаны на рис. 1.25.
Рис. 1.25. Схемы исполнительного устройства с нелинейной характеристикой в прямой цепи: а — структурная схема; б — схема в переменных состояния Векторы состояния системы представлены в виде
Дифференциальные уравнения состояния системы:
где
Из выражений (1.114) и (1.115) находим матрицы А и В:
Элементы матрицы перехода
Таким образом, матрица перехода имеет вид
Блок-схема программы вычисления на ЦВМ вектора состояния системы в соответствии с выражением (1.113) для однозначных (не петлевых) нелинейных характеристик Схема 2. Структурное представление нелинейной системы (нелинейная характеристика в цепи обратной связи) и схема в переменных состояния изображены на рис. 1.28. (кликните для просмотра скана) (кликните для просмотра скана) Аналогично в общем виде составляются матрицы для различных нелинейных структурных схем, соответствующих основным типам исполнительных устройств.
Рис. 1.28. Схема исполнительного устройства с нелинейной характеристикой в цепи обратной связи: а — структурная схема; б — схема в переменных состояния Эти матрицы могут составлять основу математического обеспечения для машинного проектирования исполнительных устройств и сервомеханизмов САР и САУ.
|
1 |
Оглавление
|