6. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Структурная схема исполнительного устройства САР или САУ представляет собой графическое отображение статических и динамических особенностей звеньев, входящих в состав схемы, и математические связи между ними.

Структурная схема исполнительного устройства может быть задана во временной области, в которой особенности преобразования сигналов описываются в общем случае линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями. В области преобразований или изображений по Лапласу или Фурье при структурном представлении исполнительных устройств используются алгебраические соотношения.

Наибольшее распространение получили линейные и линеаризованные структурные схемы с постоянными параметрами, в которых свойства исполнительных элементов задаются их передаточными функциями. Такой подход использован в § 2 настоящей главы.

Для расчета нелинейных электрических исполнительных устройств применяются функциональные структурные схемы. Однако структурные методы в этом случае имеют существенные ограничения, так как принцип суперпозиции для нелинейных систем несправедлив.

При эскизном или техническом проектировании исполнительных устройств широкое распространение получил способ, основанный на предварительном преобразовании структурных схем [14]. Этот способ заключается в составлении структурной схемы сложной, например многоконтурной системы, и последующем ее преобразовании к эквивалентной одноконтурной системе при помощи правил структурного преобразования. Его преимущество заключается в том, что громоздкое формальное решение совместных уравнений заменяется наглядными преобразованиями, имеющими геометрическую интерпретацию и уменьшающими возможности ошибок.

Структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя. Полная структурная схема несимметричного двухфазного асинхронного электродвигателя как нелинейной системы на переменном токе может быть составлена в соответствии с дифференциальными уравнениями, полученными в работе [10]. Эти уравнения, записанные в операторной форме, имеют следующий вид:

где — напряжение возбуждения;

— напряжение управления;

— токи в обмотках возбуждения и управления;

— токи в эквивалентных фиктивных обмотках ротора;

— угол поворота вала ротора электродвигателя; — активные сопротивления роторных и статорных обмоток;

— коэффициенты самоиндукции;

— соответствующие коэффициенты взаимоиндукции;

— момент инерции ротора;

— коэффициент вязкого трения;

— момент сухого трения.

Уравнения 1 и 2 системы (1.64) описывают электромагнитные процессы в статорных обмотках электродвигателя. Уравнения 3 и 4 учитывают связь между магнитными потоками статора и ротора, а также

скорость вращения ротора. Наконец, уравнение 5 представляет собой уравнение моментов и описывает динамику ротора.

Совместному решению системы уравнений соответствует полная структурная схема во временной области (рис. 1.17).

Общая структурная схема как математическая модель двухфазного электродвигателя имеет два входа два выхода (0 и несколько перекрестных связей и может быть отнесена к группе многосвязанных нелинейных систем регулирования. Из этой схемы, во-первых, при определенных допущениях можно получить упрощенные структурные схемы, известные в литературе.

Рис. 1.17. Полная структурная схема двухфазного асинхронного электродвигателя

Во-вторых, эта схема является базовой для составления детализированной структуры во временной области, содержащей, например, только усилительные и интегрирующие звенья [16]. Такая детализированная схема может быть непосредственно использована для набора задачи, настройки и моделирования динамики асинхронного электродвигателя на аналоговой вычислительной машине.

Составим частные схемы моделирования асинхронного электродвигателя в области временного аргумента, соответствующие уравнениям системы (1.64).

Решив уравнения 1 и 2 системы (1.64) относительно токов ротора получим схемы, изображенные на рис. 1.18, а и 1.18, б. Уравнения 3 и 4, разрешенные относительно токов статорных обмоток имеют схемы моделирования, показанные на рис. 1.18, в и 1.18, г. Схема, имеющая в качестве выходной координаты угол поворота вала электродвигателя, приведена на рис. 1.18, д. На

(кликните для просмотра скана)

рис. 1.17 и 1.18 нелинейная операция — умножение соответствующих переменных величин — изображается множительным блоком.

Такого рода машинное проектирование позволяет исследовать как физические процессы, протекающие в электродвигателе, так и различные режимы работы его в системе автоматического регулирования с учетом нагрузки в общем случае при ненулевых начальных условиях.

Метод гармонического баланса. Этот метод с успехом применяется для проектирования и исследования разнообразных электрических исполнительных устройств, описываемых системой линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.

Рис. 1.19. Нелинейные характеристики электрического привода: а — механические характеристики электродвигателя при различных значениях управляющего напряжения; б — характеристика сухого трения

Ниже исследуется влияние параметров нелинейного электрического привода на устойчивость и автоколебательный процесс методом гармонического баланса при наличии в системе нелинейных падающих механических характеристик (рис. 1.19, а) и сложных характеристик трения, зависящих от скорости (рис. 1.19, б). Линейная часть системы имеет третий порядок. Кривые 1—3 на рис. 1.19, а получены при управляющем напряжении:

Структурная схема рассматриваемой нелинейной системы показана на рис. 1.20, а.

Аналитически нелинейные звенья системы аппроксимируются следующими уравнениями: механические характеристики электродвигателя уравнением (рис. 1.17)

где — вращающий момент;

— управляющее напряжение;

— угловая скорость вала электродвигателя;

— размерные коэффициенты пропорциональности; характеристики трения аппроксимируются уравнениями вида (рис. 1.19, б)

где с — коэффициент, характеризующий превышение момента трения покоя над минимальным моментом трения движения; — коэффициент, характеризующий минимальный момент трения движения;

— коэффициент крутизны падающего участка характеристики трения.

Как следует из полученных выражений, соответствующие нелинейности, описываемые уравнениями (1.65), (1.66) или (1.65), (1.67) от одной переменной можно объединить в одну знаком сложения.

Рис. 1.20. Структурная схема системы с электрическим исполнительным элементом: а — нелинейная схема, и авых — углы на входе и выходе; б — линеаризованная схема

Поэтому коэффициент гармонической линеаризации системы определяется в виде суммы коэффициентов гармонической линеаризации нелинейных характеристик (1.65), (1.66) или (1.65), (1.67).

Для нелинейностей (1.65), (1.66), (1.67) коэффициенты гармонической линеаризации имеют следующий вид:

где А — амплитуда гармонических автоколебаний в системе;

В — коэффициент, зависящий от амплитуды

Уравнение электродвигателя с учетом коэффициентов гармонической линеаризации или и инерционной нагрузки примет вид (рис. 1.20, б):

или

где

Уравнение остальной части системы (1.65)

В соответствии с выражениями (1.72), (1.71) характеристическое уравнение системы имеет вид

где

После подстановки в уравнение получим систему уравнений

Решение уравнения (1.74) относительно со связывает частоту автоколебаний с параметрами системы, т. е.

С учетом соотношения (1.75) из уравнения (1.74) получим выражение коэффициента усиления разомкнутой системы:

Коэффициент К относительно параметра а имеет зависимость в виде квадратичного трехчлена

где

причем так как при

Таким образом, значение К не равно нулю ни при каких соотношениях параметров

Задавая различные значения А в выражении а по формуле (1.77) находим зависимость при заданных нелинейностях в системе. На рис. 1.21 приведены графики при различных аппроксимациях характеристики трения от скорости вращения Кривая 3 представляет собой зависимость коэффициента К от амплитуды автоколебаний при аналитическом описании характеристики трения уравнением (1.66), кривая 2 — соответственно уравнением (1.67). Величина на рис. 1.21 представляет собой минимальное значение коэффициентов усиления, при котором в системе существуют автоколебания, амплитуда автоколебаний системы, соответствующая значению

Кривая 1 показывает характер изменения величины К при релейной зависимости момента трения от Значения при кулоновом трении, определяемом выражением (1.66), зависят от параметров системы следующим образом:

где

При некулоновом трении аналитическая зависимость от параметров системы, представляемая трансцендентными уравнениями, имеет сложный вид.

Рис. 1.21. График зависимости амплитуды автоколебаний от коэффициента усиления системы при различных аппроксимациях характеристики трения: 1 — кривая для релейной аппроксимации; 2 — при аппроксимации по формуле (1.67); 3 — при аппроксимации по формуле (1.66); — зоны устойчивой работы, соответствующие кривым 1, 2, 3

На рис. 1.22, а показано влияние с на значение при описании характеристики момента трения зависимостью (1.67) и постоянных значениях величин а на рис. 1.22, б — влияние коэффициента т. Последний определяет собой крутизну падающего участка характеристики . С ростом величины увеличивается и крутизна падающего участка. Для сравнения на графиках (рис. 1.22) показаны соответствующие штриховые кривые для случая кулонового трения.

Из анализа графиков, изображенных на рис. 1.21, можно сделать следующие выводы. Кривая 2, описываемая формулой (1.67), занимает промежуточное положение при аппроксимации трения функцией, имеющей вид идеальной релейной кривой, и функцией соответствующей формуле (1.66).

Возрастание величины трения (коэффициента с) на малых скоростях (рис. 1.22, а) приводит к расширению зоны устойчивой работы, а увеличение крутизны падающего участка (коэффициента характеристики трения (рис. 1.22, б) уменьшает эту зону.

Границы зоны определяются аналогично рис. 1.21 (кривые 1-31

Рассмотрим характер изменения автоколебаний в зависимости от коэффициента усиления разомкнутой системы, структурная схема которой изображена на рис. 1.23, при наличии в ней нелинейностей вида (1.66).

Рис. 1.22. График зависимости амплитуды автоколебаний от коэффициента усиления системы: а — при различных значениях коэффициента С; б — при различных коэффициентах

В работах [12, 13] показано, что в системе второго порядка указанные нелинейности не приводят к автоколебаниям.

Рис. 1.23. Структурная схема системы с электрическим исполнительным элементом

Линеаризованное уравнение нагруженного электродвигателя остается без изменений:

Уравнение остальной линейной части системы имеет следующий вид:

После разрешения характеристического уравнения системы относительно вещественной и мнимой частей получим систему уравнений

где

Из соотношения (1.80) находим выражение для частоты автоколебаний

Выражение для К из уравнения (1.80) с учетом соотношения (1.78) примет вид

Уравнение (1.82) может быть записано в виде квадратичного трехчлена:

Коэффициенты в выражении (1.83) имеют следующую зависимость от постоянных времени системы:

Из выражения (1.83) следует, что при любых коэффициент М больше нуля, а из соотношений (1.84), (1.85) — что и всегда меньше нуля. Таким образом, квадратичный трехчлен (1.83) будет иметь вид

Рис. 1.24. График зависимости амплитуды автоколебаний от коэффициента усиления системы при различных значениях коэффициента а

Из уравнения (1.87) характер зависимости амплитуды автоколебаний от общего коэффициента усиления системы для различных сочетаний параметров системы имеет вид, изображенный на рис. 1.24.

Кривые относятся к такому сочетанию параметров системы, когда а достигает значений корней трехчлена (1.81), кривая 3 соответственно, когда а не достигает этих значений. Итак, в системе, структурная схема которой приведена на рис. 1.23 при определенном сочетании параметров системы, могут существовать автоколебания при любом начальном отклонении и при любом коэффициенте усиления.

Метод пространства состояний. Описание исполнительного устройства переменными состояния. Математическая модель исполнительного устройства может быть представлена в виде линейной стационарной системы, которая описывается совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными

коэффициентами, задаваемой в следующей векторно-матричной форме [16]:

где А — матрица коэффициентов;

— вектор-столбец состояния системы:

Векторы в выражении (1.89) представляют собой соответственно входные переменные и некоторые координаты системы (например, ток или напряжение на входе, скорость, ускорение, момент, перемещение или другие координаты схемы исполнительного устройства).

Если входные переменные рассматривать совместно с переменными состояния исполнительного устройства, то вектор можно считать вектором состояния системы увеличенной размерности.

Пусть заданы ненулевые начальные условия состояния исполнительного устройства, т. е. вектор Применяя к уравнению (1.88) прямое преобразование Лапласа, получим

или

Из соотношения (1.91) следует, что изображение вектора состояния

В результате применения к уравнению (1.92) обратного преобразования Лапласа найдем

или

где — расширенная матрица перехода системы.

Матрица перехода может быть определена одним из следующих трех способов:

1. Непосредственным применением обратного преобразования Лапласа

2. Решением уравнения (1.88), действительно

сравнивая это соотношение с выражением (1.94), получим

3. Вычислением реакций системы на единичные ступенчатые воздействия, определенным образом приложенных к системе, т. е.

где первый индекс при а указывает координату, по которой измеряется реакция системы, а второй индекс — координату, по которой производится возбуждение системы единичной функцией при нулевых начальных значениях остальных координат.

Таким образом, выражение (1.94) является общим решением векторно-матричного уравнения состояния. Компоненты вектора представляют собой переменные состояния исполнительного устройства при соответствующих воздействиях и ненулевых начальных условиях.

Особенности расчета исполнительных устройств методом пространства состояний. Метод пространства состояний дает возможность исследовать динамические возможности системы как во временной области, так и на фазовой плоскости. Представление системы ее схемой в переменных состояния не является единственным, т. е. для одной и той же системы можно составить несколько схем, которые будут отличаться природой фазовых координат, выбранных в качестве переменных состояния. Для построения фазового портрета исследуемого исполнительного устройства нужно таким образом составить расширенный вектор состояния системы, чтобы в него вошли в качестве компонент координаты

Метод пространства состояний позволяет унифицировать процесс анализа и синтеза сложных структурных схем динамических систем. Это дает существенные преимущества для программирования и решения задач на ЦВМ.

Формальной основой для реализации метода пространства состояний на ЦВМ является, во-первых, возможность применения векторно-матричного математического аппарата к дискретным системам, во-вторых, возможность замены реальной расчетной схемы исполнительного устройства эквивалентной дискретной системой с некоторым постоянным тактом квантования Т и экстраполятором сигналов. При решении нелинейных задач вводят в рассмотрение два ключа (или более двух) с разными, но кратными тактами замыкания (например,

Известно [16], что

и

где Т — период квантования сигналов в системе; последовательные целочисленные значения;

В — квадратная матрица, определяемая из рассмотрения схемы системы в переменных состояния.

Соотношение (1.100) является рекуррентным и может быть использовано для вычисления последовательных значений переменных состояния исполнительного устройства в моменты квантования. Обозначим:

тогда

или

Придавая в выражении (1.103) последовательные значения, получаем следующие уравнения:

Комбинируя уравнения (1.104) и производя упрощения, находим

Применяя к выражению (1.105) -преобразование, запишем

Далее комбинируя уравнения (1.106) и (1.105), получим -преобразование в виде

Учитывая соотношение

-преобразование для вектора состояния эквивалентной дискретной системы

Наконец, применяя обратное -преобразование к уравнению (1.109), для вектора состояния системы получим

Выражение (1.110) является общим решением уравнения состояния эквивалентной дискретной схемы исполнительного устройства. Из этого выражения могут быть определены переменные состояния системы в последовательные моменты квантования, если известны расширенная матрица перехода вида (1.95) и матрица В, а также заданы воздействия и начальные условия.

Представление вектора состояния в соответствии с выражением (1.110) позволяет анализировать устойчивость рассматриваемой системы аналитическим методом. Действительно, если

то характеристическое уравнение системы записывается в виде

Рассматриваемая система является устойчивой, если корни уравнения (1.111), находящиеся на комплексной плоскости лежат в пределах окружности единичного радиуса.

Структурную схему нелинейной системы, учитывающую те или иные нелинейные характеристики исполнительного устройства, можно рассматривать как схему с переменным («мгновенным») коэффициентом йуаг, который принимает различные дискретные значения на соответствующих интервалах квантования в зависимости от вида статической характеристики нелинейного элемента эквивалентной дискретной системы [16]. Пусть входной координатой нелинейного элемента-усилителя с коэффициентом является а выходной В произвольный момент времени эти координаты связаны линейным соотношением

где — постоянный коэффициент усиления нелинейного элемента на такте квантования.

В соответствии с выражением (1.94) для момента времени в общем виде можно определить

где матрица перехода является функцией «мгновенного» коэффициента усиления нелинейного элемента на предыдущем такте квантования, а вектор — функцией дискретных значений коэффициентов усиления

Из уравнения (1.113) следует, что искомый вектор состояния представляет собой функцию коэффициентов усиления Уравнение (1.113) является исходным для выполнения процедуры вычисления с помощью ЦВМ вектора состояния нелинейной

эквивалентной системы, использующей метод пространства состояний совместно с методом переменного коэффициента усиления.

Методы коррекции эквивалентной нелинейной системы, учитывающей нелинейные характеристики исполнительного устройства, изложены в работах [3], [16].

Рассмотрим на примере двух типовых схем исполнительных устройств, имеющих нелинейные характеристики применение метода переменных состояния совместно с методом переменного коэффициента усиления.

Схема I. Структура нелинейной системы и схема в переменных состояниях показаны на рис. 1.25.

Рис. 1.25. Схемы исполнительного устройства с нелинейной характеристикой в прямой цепи: а — структурная схема; б — схема в переменных состояния

Векторы состояния системы представлены в виде

Дифференциальные уравнения состояния системы:

где — переменный коэффициент усиления для нелинейной характеристики Уравнения переходных состояний имеют следующий вид:

Из выражений (1.114) и (1.115) находим матрицы А и В:

Элементы матрицы перехода определим в соответствии с выражением (1.98) как реакции системы на единичные воздействия при

Таким образом, матрица перехода имеет вид

Блок-схема программы вычисления на ЦВМ вектора состояния системы в соответствии с выражением (1.113) для однозначных (не петлевых) нелинейных характеристик показана на рис. 1.26. Схема программы вычисления вектора системы для петлевых нелинейных характеристик дана на рис. 1.27.

Схема 2. Структурное представление нелинейной системы (нелинейная характеристика в цепи обратной связи) и схема в переменных состояния изображены на рис. 1.28.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Аналогично в общем виде составляются матрицы для различных нелинейных структурных схем, соответствующих основным типам исполнительных устройств.

Рис. 1.28. Схема исполнительного устройства с нелинейной характеристикой в цепи обратной связи: а — структурная схема; б — схема в переменных состояния

Эти матрицы могут составлять основу математического обеспечения для машинного проектирования исполнительных устройств и сервомеханизмов САР и САУ.