ГЛАВА XV. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ И ОПОРЫ

Механические передачи в системах автоматического регулирования и управления выполняют самые разнообразные функции:

обеспечивают согласование двигателя с нагрузкой (в следящих системах) и двигателя с регулирующим органом (в регуляторах);

суммируют и вычитают сигналы в виде механических перемещений или углов поворота;

являются усилителями момента (силы) в устройствах управления; обеспечивают различные функциональные преобразования в счетнорешающих приборах (умножение, деление, введение тригонометрических величин и др.);

изменяют масштабы входных и выходных сигналов путем образования многосчетных устройств;

образуют жесткие и гибкие (с тахогенераторами) внешние и внутренние обратные связи в многоконтурных системах;

обеспечивают выполнение операций дифференцирования и интегрирования;

служат средствами контроля работы системы (путем вывода интересующей информации на поворотные шкалы);

являются средствами предохранения и защиты объектов управления от поломки (муфты с проскальзыванием, упругие соединители, механические упоры) и т. д.

Итак, из всего многообразия систем автоматического регулирования и управления трудно найти такие системы, где бы не присутствовали механические передачи. Несмотря на большое число различных видов механических передач, их можно классифицировать на зубчатые, винтовые, рычажные, фрикционные, тросовые, цепные и др.

1. ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Зубчатые передачи являются одним из основных видов механических устройств, получивших самое широкое применение в следящих системах, счетно-решающих приборах, регуляторах и других системах

автоматического регулирования и управления. В зубчатых передачах (редукторах) применяют различные типы зубчатых колес: цилиндрические, конические, червячные, гипоидные и т. д.

Наибольшее распространение получили редукторы с цилиндрическими и коническими колесами. Червячные передачи применяют гораздо реже из-за значительных потерь на трение и возможности поломки редуктора при использовании самотормозящей передачи. Спиральные конические колеса и гипоидные передачи применяют в тех случаях, когда валы лежат в различных плоскостях. Однако в системах автоматики их используют значительно реже, чем червячные передачи.

Конструкции редукторов. Редукторы имеют различное конструктивное исполнение: одноплатное (рис. XV. 1, а), двухплатное (рис. XV. 1, б), одноплатное с центрирующим зажимным кольцом (рис. XV. 1, в) и многоплатное (рис. XV.2).

На плато 1 (рис. XV. 1, а) устанавливаются электрический двигатель 2 и конусный регулировочный кран 3. Количество протекающей жидкости через кран зависит от угла поворота наружного конуса 5 относительно внутреннего конуса 4.

Для исключения поломки редуктора применена фрикционная муфта 7. Редуктор состоит из трех пар цилиндрических шестерен (первой пары 10, второй пары 8 и третьей пары 6). Кронштейн 9 обеспечивает центровку шестерен редуктора.

На рис. XV. 1, б показан редуктор, смонтированный в корпусе 1 с платой 3. Соосность размещения зубчатых колес и агрегатов на платах достигается одновременной их расточкой после постановки на контрольные шпильки 2.

Центрирующее зажимное кольцо 2 (рис. XV.1, в) позволяет вращать двигатель 1 относительно корпуса 3 и устранять эксцентриситет между валом двигателя 6 и первым колесом редуктора 5. Зажимное кольцо обеспечивает высокую соосность выходного вала 4 и двигателя.

Редуктор (рис. XV.2) состоит из силовой передачи и согласующей масштабы сельсинов приборной передачи (последняя Еыделена штриховыми линиями). Сельсины грубый 1 и точный 2 центрируют с помощью зажимных устройств 3. Силовой редуктор имеет фрикционный механизм 4, предупреждающий поломку механических частей редуктора при превышении допустимого момента на выходном валу 5. Редукторы, согласующие масштабы сельсинов, имеют обычно следующие передаточные числа между точными и грубыми сельсинами:

На рис. XV.3 изображена схема редуктора счетно-решающего прибора с дифференциалом 2, нелинейным преобразователем в виде кулачка 4 и выходным колесом 5. Дифференциал производит суммирование сигналов, поступающих от двух валов 1 и 3. Колесо 6 является входным в кулачковом механизме.

Более подробно различные виды конструкций редукторов описаны в работах [2], [15] и [17].

Выбор оптимальных передаточных чисел редукторов. При произвольном выборе передаточных чисел в редукторах моменты инерции

(кликните для просмотра скана)

шестерен могут оказаться настолько большими, что динамические характеристики систем автоматического регулирования и управления значительно ухудшатся.

Рис. XV.2. Конструкция многоплатного редуктора

Поэтому выбор передаточных чисел редукторов следует производить с учетом данных нагрузки и требований быстродействия выходного вала системы.

Рис. XV.3. Кинематическая схема редуктора счетно-решающего прибора с дифференциалом

В настоящее время существует довольно много способов определения оптимальных передаточных чисел редукторов систем автоматического регулирования [1], [7], [15]. Наиболее простой способ, обеспечивающий полное согласование нагрузки с возможностями двигателей, основан на определении эквивалентного момента двигателя привода. Воспользуемся этим методом, предположив, что на систему действует синусоидальный сигнал вида

где — максимальная амплитуда сигнала. Вторая производная этого сигнала будет

В выражение (XV.2) введем следующее обозначение:

где максимальное ускорение на валу нагрузки,

Пользуясь выражением (XV.3), запишем формулу для эквивалентного момента двигателя в виде

где Мн — момент нагрузки;

— момент сухого трения;

— передаточное число редуктора;

— к. п. д. редуктора;

— момент инерции нагрузки;

— момент инерции якоря электродвигателя;

— момент инерции редуктора.

Используя условие оптимизации

из формулы (XV.4), получим

Введем коэффициент

в формулу (XV.5), тогда

По формуле (XV.7) определяют оптимальное значение передаточного числа редуктора, пользуясь методом последовательных приближений. Необходимость использования этого метода возникает из-за того, что нам неизвестны все параметры редуктора, входящие в формулу (XV.7).

Действительно, в технических условиях обычно указываются следующие данные , а значения и не приводятся. Однако от величины последних зависит число пар колес редуктора. Выбирать число пар шестерен не следует произвольно, так как это приведет к излишне большим значениям коэффициента или существенному недоиспользованию двигателя прицода системы автоматического регулирования. Наивыгоднейшие значения передаточных

чисел редуктора можно получить с помощью специальных номограмм [15]. Выведем математические зависимости, по которым строятся номограммы.

Приведенный момент инерции всех вращающихся частей редуктора к валу двигателя запишем в виде

Пренебрегая моментами инерции валов редуктора, определим момент инерции первых четырех цилиндрических шестерен (см. рис. XV.4):

где — плотность металла, из которого сделаны шестерни; b — ширина шестерни.

Рис. XV.4. Кинематическая схема редуктора системы автоматического регулирования с цилиндрическими шестернями: 1 — потенциометр обратной связи; 2 — редуктор; 3 — электродвигатель; 4 — выходной вал

Введем в формулу (XV.9) следующие обозначения:

тогда получим

где

Из формулы (XV. 10), пользуясь выражением

найдем

Имея в виду, что получим

Положив и задаваясь величинами с помощью формулы (XV. 12), построим линию оптимальных значений для двух пар шестерен (рис. XV.5, а, линия Подставляя полученные значения

Рис. XV.5. (см. скан) Номограммы для определения оптимальных значений передаточных отношений пар сплошных цилиндрических колес: а — при ; б — при в — при ; г — при 4 — кривые соответственно для двух, трех, четырех и пяти пар колес

передаточных чисел в формулу (XV.10), найдем оптимальные соотношения , линия Эта номограмма определит минимальные значения моментов инерции первой пары цилиндрических колес в редукторе.

Пользуясь формулой (XV.12), как рекуррентным соотношением, найдем оптимальные передаточные отношения при двух, трех (линия 2), четырех (линия 3) и пяти (линия 4) парах колес. Полученная таким образом номограмма выбора оптимальных передаточных чисел построена на рис. XV.5, а. В соответствии с этим на рис. XV.6, а приведены линии минимальных значений для второй, третьей, четвертой и пятой пар колес редукторов. На рис. XV.5, б-г построены номограммы для выбора оптимальных значений передаточных чисел редукторов при и 3,0. Соответствующие этим случаям номограммы для определения минимальных значений моментов инерции сплошных цилиндрических колес редукторов приведены на рис. XV.6, б-г.

Для уменьшения моментов инерции редукторов применяют колеса с вырезами (будем эти колеса в дальнейшем именовать полыми цилиндрами). Рассмотрим редуктор с двумя парами колес, когда первая и третья шестерни — сплошные, а вторая и четвертая — с вырезами [15]. Момент инерции полого цилиндра с вырезами, внешним диаметром и внутренним определим по формуле

тогда момент инерции редуктора

где

Формулу (XV. 13) можно переписать в следующем виде:

где

Из формулы (XV. 14) определим уравнение для вычисления передаточных отношений

(кликните для просмотра скана)

откуда нетрудно найти

По аналогии с ранее проделанными вычислениями с помощью формулы (XV. 16) построим номограммы для определения оптимальных значений передаточных отношений полых колес редукторов.

Рис. XV.7. (см. скан) Номограммы для определения оптимальных значений передаточных отношений пар цилиндрических шестерен (первое и третье колеса сплошные, второе и четвертое полые) а — при б — при в — при — при — кривые соответственно для двух, трех, четырех и пяти пар колес

(кликните для просмотра скана)

Соответствующие номограммы при приведены на рис. XV.7, а-г. Подставляя полученные оптимальные значения передаточных чисел в формулу (XV.14), найдем минимальные значения

Значительное снижение момента инерции редуктора можно получить, применяя не стальные колеса а изготовленные из текстолита Соответствующие расчеты [2], [15] показывают, что замена двух стальных колес на текстолитовые уменьшает величину момента инерции редуктора примерно на 60%.

Рис. XV.9. Номограмма для определения коэффициентов полезного действия пар цилиндрических колес

Уточним найденное нами используя составленные номограммы для оптимальных значений передаточных отношений отдельных пар колес. Одновременно определим и вычислим коэффициент V. Зная число пар колес и их передаточные числа, не: трудно определить к. п. д. редуктора по формуле

где отдельных пар колес. Числовые значения к. п. д. отдельных пар можно найти по номограмме (рис. XV.9).

Подставляя полученные значения и в формулу (XV.7), определим первое приближение для оптимального передаточного числа редуктора. Затем по номограммам уточняем оптимальные значения отдельных пар колес и вычисляем После этого по номограмме находим Пользуясь параметрами по формуле (XV.7) находим второе приближение для оптимального передаточного числа редуктора, а затем третье и т. д. Указанные операции выполняем столько раз, чтобы полученное нами последующее приближение с заданной степенью точности совпадало с предыдущим.

Пример XV.1. Определить параметры редуктора следящей системы, если заданы: момент инерции нагрузки момент нагрузки на выходном валу Мн момент сухого трения максимальное ускорение на выходном валу . В качестве двигателя привода был выбран электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением Момент инерции якоря Допустим, что редуктор состоит из пяти пар колес, тогда его к. п. д. . Примем в качестве нулевого приближения

По формуле (XV.7) найдем нулевое приближение оптимального передаточного числа всего редуктора:

По номограмме (рис. XV.5, а) для и пяти пар колес найдем . В результате передаточное число будет Для и четырех пар соответственно Далее снова по номограмме найдем

Рис. XV.10. Кинематическая схема редуктора с пятью парами колес и передаточным отношением

Для по номограмме (рис. XV.6, а) определим

Имея это в виду, получим

Вычислим для стального колеса, имеющего модуль мм и ширину

Тогда .

Коэффициент (его первое приближение) будет иметь следующее значение:

По оптимальным передаточным отношениям вычислим число зубьев в колесах:

Пользуясь номограммой (рис. XV.5, а), определим откуда Подставляя полученные значения и в формулу (XV.7), найдем

По уточняем Тогда и коэффициент (второе приближение) имеет следующее значение что указывает на хорошую сходимость с первым приближением.

Схема редуктора с указанием оптимальных значений чисел зубьев в колесах, полученных по данным первого приближения, показана на рис. XV.10. На этом определение оптимальных параметров редуктора следящей системы заканчивается. При других параметрах редуктора (см. номограмму рис. XV.6, а). Это приведет к росту коэффициента и снижению величины гт.

Влияние упругости редуктора. Редуктор и его колеса являются упругими элементами, оказывающими большое влияние на работу системы автоматического управления. При вполне определенной жесткости колес и мест крепления редуктора в механической системе могут возникнуть незатухающие колебания, приводящие к поломке редуктора.

Составим уравнение движения масс нагрузки, пользуясь расчетной моделью, представленной на рис. XV.4. Уравнение движения нагрузки запишем в виде

где — упругий момент;

— крутильная жесткость редуктора;

— постоянная скоростного трения нагрузки;

— угол поворота выходного вала системы;

— угол поворота вала электродвигателя.

Уравнение движущихся масс электропривода системы можно записать в виде

где — моментная постоянная электродвигателя;

— ток якоря электродвигателя;

— постоянная скоростного трения электродвигателя. Применим преобразование Лапласа к уравнениям (XV. 17) и (XV. 18) при нулевых начальных условиях, тогда получим

где

Добавим к зависимостям (XV. 19) следующее уравнение:

С помощью уравнений (XV. 19) и (XV.20) на рис. XV.11, а построена структурная схема привода с упругим редуктором. Преобразуем структурную схему к расчетному виду (рис. XV.11, б).

Рис. XV. 11. (см. скан) Структурная схема привода системы автоматического регулирования с упругим редуктором: а — исходная, б — преобразованная

Как видно из рис. XV.11, б, упругий редуктор приводит к возникновению в системе внутреннего контура с положительной обратной связью.

Передаточную функцию контура с положительной обратной связью запишем в виде

Для построения частотных характеристик с положительной обратной связью значение амплитуд и фаз разомкнутого контура следует

(кликните для просмотра скана)

наносить по кривым номограммы, а значения амплитуд и фаз замкнутого контура считывать с оси абсцисс и ординат номограммы [15].

Для построения частотных характеристик воспользуемся следующими параметрами привода и редуктора:

Значения постоянных времени и коэффициентов колебательности, вычисленные для параметров привода и редуктора, приведены в табл. XV. 1.

Таблица XV,1

По данным табл. XV.1 на рис. XV. построены логарифмические амплитуды и фазовые частотные характеристики разомкнутой механической системы (привод—редуктор). Кривые 1,2 на рис. XV. 12,а — логарифмические амплитудные, а кривые 3, 4 — фазовые частотные характеристики при . Аналогично кривые 5, 6 на рис. XV. 12, б — амплитудные кривые, а фазовые частотные характеристики при кривые 7, 8. Из рис. XV.12 видно, что по мере увеличения возрастают максимумы амплитудных характеристик при частотах содв Последнее объясняется значительным уменьшением степени затухания колебательных звеньев (см. табл. XV. 1).

На номограмму (рис. XV. 13) нанесены логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики контура с положительной обратной связью для трех значений жесткости редуктора Как видно, амплитудно-фазовые характеристики раз не проходят через точку номограммы с координатами дБ и , что указывает на устойчивость контуров с положительной обратной связью. Пользуясь данной номограммой, определим амплитудные и фазовые частотные характеристики замкнутого контура

Соответствующие построения выполнены на рис. XV. — кривые для амплитуд и кривые 11, 12, 15 и 16 для фаз. Полученные амплитудные характеристики при учете множителя должны быть опущены на 58 дБ вниз. Результирующие амплитудные характеристики показаны на рис. XV. 12, а и б, кривые 17—20. Из этих характеристик видно, что при рассмотренных крутильных жесткостях редуктора максимумы амплитудных характеристик не доходят до уровня 0 дБ на 43 — 70 дБ.

Полученные результаты на первый взгляд гарантируют достаточный запас устойчивости системы. Однако, если принять параметры всей системы автоматического регулирования такими, чтобы ее

частота среза составляла и наклон амплитудной характеристики составил тогда запасы устойчивости системы по модулю существенно упадут, особенно в области малых крутильных жесткостей редуктора (см. рис. XV. 14).

Рис. XV. 13. (см. скан) Номограмма замыкания с простроенными логарифмическими ампли-тудно-фазовыми частотными характеристиками контура: 1 — при — при — при

При жесткости редуктора система автоматического регулирования становится неустойчивой, так как в ней совершенно отсутствует запас устойчивости по модулю. Малый запас устойчивости имеет и система с Все это показывает на значительное влияние

крутильной жесткости редуктора на устойчивость систем автоматического регулирования.

Следует заметить, что увеличение момента инерции нагрузки приводит к еще большему уменьшению запасов устойчивости всей системы по модулю. Поэтому в системах автоматического регулирования с редукторами, имеющими крутильные жесткости от до могут возникать незатухающие колебания с частотой от 10 до 30 Гц.

Рис. XV. 14. Результирующие амплитудные и фазовые частотные характеристики системы автоматического регулирования с механической передачей, имеющей различные крутильные жесткости

Для большинства систем подобного рода колебания совершенно недопустимы, так как они приводят к ухудшению точности работы систем, снижению надежности их действия, а в ряде случаев и к поломке агрегатов.

Для устранения незатухающих колебаний необходимо подбирать такие параметры системы автоматического регулирования и ее механической части, чтобы частота сон, соответствующая подъему амплитудной характеристики, превышала частоту среза всей системы сос не менее чем в 5 раз. Достигать такого соотношения частот чрезмерным повышением жесткости механической передачи не всегда представляется возможным из-за значительного увеличения массы редуктора.