5. АВТОКОЛЕБАНИЯ С ЖЕСТКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

Устойчивость системы в малом не означает невозможность возникновения автоколебаний с жестким возбуждением при достаточно больших отклонениях от равновесного состояния, поэтому проверку нелинейной системы следует проводить на аналоговых установках с последующим анализом, например методом гармонической линеаризации при помощи экспериментально полученной идентификации зависимости . Пусть эта зависимость будет [7]

где — суммарное падение характеристики трения, а — коэффициент интенсивности падения момента трения. Эта зависимость легко приводится к безразмерной форме (XIII.31), в которой

Тогда условия устойчивости (XIII.35) и (XIII.36) особой точки будут:

где для краткости записи обозначено

Подставляя выражение (XIII.31) в равенство (XIII.30), можно записать

где

Положив причем запишем поэтому

Значение смещения определяется из условия или, что то же самое, а периодическое решение — из Тогда, проводя подстановку можно записать

Вещественное решение биквадратного уравнения

позволяет найти амплитуду предполагаемых автоколебаний, для возможности существования которых необходимо, чтобы а безразмерная частота определяется из первого уравнения (XIII.70)

Возможность существования положительных корней

где определяется элементарным анализом.

Пусть удовлетворяется второе условие (XIII.68) (особая точка устойчива); так как то и Если при этом то поскольку

Если

Оказывается, что при неустойчивой особой точке периодического решения нет. Так, если второе условие (XIII.68) не удовлетворяется, то а тогда т. е.

Следовательно, при неустойчивой особой точке любое возмущение приводит к непрерывно растущей амплитуде, пределом увеличения которой будет обращение скорости движения в нуль. Поэтому автоколебания с мягким возбуждением обязательно сопровождаются периодическими неравновесными остановами, в противном случае эти колебания будут параметрическими.

Проверка устойчивости автоколебаний при жестком возбуждении (при устойчивой особой точке) проводится при помощи условия устойчивости периодического решения

или поскольку

но тогда условие устойчивости принимает еще более простую форму, совпадающую с условием [6]

причем

При достаточно малом А значение т. е. решение неустойчиво.

При второе слагаемое имеет порядок а третье т. е. решение также неустойчиво, означая существование неустойчивого предельного цикла. Но тогда при устойчивой особой точке появляется возможность (не обязательно реализуемая) существования устойчивого предельного цикла, поскольку бесконечность также неустойчива, т. е. имеется возможность возникновения автоколебаний с жестким возбуждением.