4. ОСНОВЫ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА И ИСПЫТАНИЕ СЕРВОМЕХАНИЗМОВ

На предыдущих этапах проектирования была найдена исходная структурная схема с обоснованием выбора входящих в нее элементов, определены основные параметры и передаточные функции всех элементов сервомеханизма и тем самым получены все исходные данные для его анализа в динамическом режиме.

В результате динамического расчета необходимо определить запас устойчивости и показатели качества сервомеханизма и сопоставить их с требованиями технического задания.

Анализ устойчивости может быть выполнен по любому из известных критериев. Если анализ производится с помощью логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик, то последние могут быть построены для разомкнутой системы (рис. 1.10) по передаточной функции

Если запас устойчивости соответствует техническим требованиям, то в дальнейшем производится анализ качества сервомеханизма. Для определения показателей качества строится переходный процесс сервомеханизма — реакция на типовое воздействие в следующей последовательности:

1) по логарифмическим амплитудно-фазовым частотным характеристикам анализа устойчивости разомкнутого сервомеханизма с помощью специальной номограммы строится вещественная частотная характеристика сервомеханизма в замкнутом состоянии;

2) вещественная частотная характеристика аппроксимируется ломаной кривой и представляется в виде трапецеидальных характеристик;

3) используя таблицы -функций, по известным правилам, строится переходный процесс для каждой трапеции;

4) суммируя переходные процессы, соответствующие отдельным трапециям, получим результирующую кривую переходного процесса замкнутого сервомеханизма, по которой определяем показатели качества.

Если окажется, что сервомеханизм по устойчивости и показателям качества удовлетворяет техническим требованиям, то в дальнейшем выполняется анализ динамической точности, т. е. определяется величина среднего значения квадрата ошибки и на этом динамический расчет заканчивается.

Если же окажется, что сервомеханизм не удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям по устойчивости или по показателям качества, то необходимо введение корректирующих устройств. Таким образом, следующей задачей динамического расчёта является синтез корректирующих устройств сервомеханизма (см. [14], кн. 2, гл. VIII).

Синтез последовательных корректирующих устройств. Структурная схема сервомеханизма с последовательным корректирующим устройством может быть представлена в виде, показанном на рис. 1.11, а. В соответствии с этой структурной схемой передаточная функция разомкнутого контура сервомеханизма

где — желаемая передаточная функция сервомеханизма;

— передаточная функция последовательного корректирующего устройства;

— передаточная функция неизменяемой части сервомеханизма.

Прологарифмировав последнее выражение, получим

откуда

т. e. логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФХ) корректирующего устройства определяется разностью между желаемой ЛАФХ и ЛАФХ неизменяемой части сервомеханизма.

В процессе синтеза корректирующих устройств необходимо учитывать некоторые их особенности.

1. В большинстве случаев используются корректирующие устройства в виде пассивных RC-контуров, которые вносят ослабление сигнала. Поэтому в сервомеханизме должны быть предусмотрены средства компенсации этого ослабления.

2. Для простоты реализации последовательного корректирующего устройства полученная путем вычитания ЛАХ неизменяемой части из желаемой ЛАХ ломаная ЛАХ корректирующего устройства должна быть по возможности упрощена. Например, если ЛАХ корректирующего устройства имеет два излома, характеризующие две постоянные времени, и если эти постоянные времени малы но величине

и незначительно отличаются друг от друга, то они могут быть заменены одним изломом. Можно показать, что если постоянные времени отличаются друг от друга менее чем на 25%, то погрешность, вносимая заменой двух постоянных времени одной, не превышает 2 дБ. Уменьшение количества изломов корректирующего устройства упрощает его передаточную функцию и, следовательно, его реализацию.

Прямые параллельные корректирующие устройства. В системах регулирования применяются прямые корректирующие устройства, как правило, в виде положительных связей для повышения точности и запаса устойчивости по фазе.

Рис. 1.11. Структурные схемы сервомеханизма с различными корректирующими устройствами: а — с последовательным; б — с прямым параллельным; в — в виде жесткой прямой параллельной связи; г и д — в виде отрицательной обратной связи; е — в виде положительной обратной связи

Некоторые из этих корректирующих устройств увеличивают точность сервомеханизма, не изменяя запаса устойчивости, а некоторые увеличивают запас устойчивости не изменяя точности. Это можно показать на примере сервомеханизма, структурная схема которого приведена на рис. 1.11,6.

Введение данного параллельного корректирующего устройства, очевидно, не влияет на устойчивость сервомеханизма, так как его можно рассматривать как воздействие.

Для определения влияния параллельного корректирующего устройства на точность сервомеханизма запишем передаточную функцию ошибки в виде

Но из структурной схемы следует

поэтому

или

Передаточная функция ошибки

Определим ошибку сервомеханизма по теореме о конечном значении:

Положим, что Тогда ошибка в установившемся состоянии

Если неизменяемая часть сервомеханизма обладает астатизмом первого порядка, то

где не имеет полюсов При этом ошибка в установившемся состоянии

Для исходной схемы без прямого параллельного корректирующего устройства передаточная функция ошибки определяется формулой Фен и ошибка сервомеханизма по теореме о конечном значении определится выражением

Таким образом, без изменения коэффициента усиления разомкнутой неизменяемой части скоростная ошибка системы уменьшилась на величину Подбирая коэффициенты можно добиться нулевой

скоростной ошибки при Следовательно, этот способ введения

коррекции позволяет повысить точность сервомеханизма при неизменном запасе устойчивости по фазе и постоянном коэффициенте усиления прямой цепи. Для обеспечения более высокой точности сервомеханизма можно использовать и другие прямые параллельные связи. Например, прямое параллельное корректирующее устройство, формирующее сигнал, изменяющийся по закону устраняет ошибки как по положению, так и по скорости. Это нетрудно показать аналитически, используя приведенную выше методику.

Корректирующее устройство, повышающее устойчивость сервомеханизма без изменения его точности, вводится в виде жесткой прямой параллельной связи, как показано на рис. 1.11, в.

Пусть

Поэтому передаточная функция разомкнутого контура сервомеханизма

Из последнего выражения видно, что введение в структуру сервомеханизма жесткой прямой связи эквивалентно введению дифференцирующего звена второго порядка, а это вносит опережение по фазе, изменяющееся от 0 до

Покажем, что при этом точность сервомеханизма не изменяется. Выражение для сигнала ошибки можно записать в откуда Из структурной схемы рис. 1.11,6 очевидно, что

откуда

Передаточная функция сервомеханизма по ошибке

Пусть при при если Тогда выражение для ошибки сервомеханизма по теореме о конечном значении можно записать в виде

Последнее выражение показывает, что введение жесткой прямой статической связи не влияет на точность сервомеханизма, увеличивая его запас устойчивости. Покажем, что точность сервомеханизма не изменится и в том случае, если передаточная функция

В этом случае передаточная функция по ошибке имеет вид

Если положить, что выражение для ошибки, согласно теореме о конечном значении, можно записать в виде

Теперь предположим, что передаточная функция параллельной прямой связи

Тогда

Обычно выбирают значения коэффициентов такими, чтобы числитель передаточной функции можно было разложить на элементарные звенья с такими постоянными времени, чтобы или Тогда

Из последнего выражения видно, что подобная коррекция вводит в структуру сервомеханизма одну производную (дифференцирующее звено первого порядка), а это увеличивает запас устойчивости сервомеханизма по фазе.

Можно показать, что точность сервомеханизма при введении этого корректирующего устройства не ухудшается. Действительно, передаточная функция сервомеханизма по ошибке

Ошибка определяется выражением

Таким образом, при введении корректирующего устройства точность сервомеханизма не изменяется, а устойчивость улучшается.

Сделаем некоторые замечания о виде передаточных функций корректирующих устройств, которые могут быть использованы при синтезе сервомеханизмов.

1. Для того, чтобы введение параллельного корректирующего устройства не понижало порядка астатизма сервомеханизма, необходимо, чтобы порядок «нулевого» нуля его передаточной функции был бы не ниже порядка нулевого полюса передаточной функции звеньев, которые охватываются этим корректирующим устройством.

2. Если нужно, чтобы введение параллельного корректирующего устройства не изменило величину коэффициента ошибки сервомеханизма при первой производной входного сигнала, то для этого порядок «нулевого» нуля его передаточной функции должен быть выше порядка нулевого полюса передаточной функции звеньев, которые охватываются этим корректирующим устройством, по крайней мере, на единицу.

3. Для того чтобы введение параллельного корректирующего устройства не изменило величину коэффициента ошибки сервомеханизма при второй производной входного сигнала, порядок «нулевого» нуля его передаточной функции должен быть выше, по крайней мере, на две единицы порядка нулевого полюса передаточной функции звеньев, охватываемых этим корректирующим устройством.

Отсюда, если коэффициент усиления сервомеханизма выбирается из условия удовлетворения требованиям, наложенным на величину коэффициентов ошибок, то структура передаточных функций корректирующих устройств должна удовлетворять изложенным выше требованиям.

Только в этом случае введение корректирующих устройств не приведет к изменению выбранных коэффициентов ошибок.

Корректирующие обратные связи. Обратные связи находят широкое применение вследствие простоты их технической реализации. Это объясняется тем обстоятельством, что на вход обратной связи поступает сигнал сравнительно высокого уровня обычно с выхода сервомеханизма или двигателя.

Другим важным фактором, обусловленным введением обратной связи, является то, что если обратная связь охватывает звенья сервомеханизма, содержащие какие-либо нелинейности, вызванные трением, люфтом, наличием зон нечувствительности и т. д., то влияние этих нелинейностей на протекание процессов в сервомеханизме меняется существенным образом. Отрицательные обратные связи имеют свойство уменьшать влияние нелинейностей тех элементов, которые ими охватываются. Так как практически все элементы сервомеханизмов содержат те или иные нелинейности, ухудшающие их динамические

характеристики, то использование корректирующих устройств в виде отрицательных обратных связей, как правило, дает возможность добиться лучших результатов по сравнению с другими типами корректирующих устройств.

Аналогичным образом отрицательные обратные связи дают значительно лучший эффект в тех случаях, когда в процессе работы сервомеханизма, вследствие различных внешних воздействий, изменяются передаточные коэффициенты звеньев, охватываемых отрицательной обратной связью.

В общем виде структурная схема любого сервомеханизма с корректирующим устройством в обратной связи может быть представлена в виде, показанном на рис. 1.11, г.

Передаточная функция разомкнутого контура сервомеханизма в соответствии со структурной схемой, приведенной на рис. 1.11, г, может быть записана в виде

где — передаточная функция исходного разомкнутого контура сервомеханизма без корректирующего устройства.

Предположим, что является желаемой передаточной функцией разомкнутого сервомеханизма. Тогда, логарифмируя ее, получим уравнение логарифмических частотных характеристик

где являются известными, а неизвестной является Последнее уравнение перепишем в следующем виде:

Рассмотрим выражение (1.45) в области положительных значений Если

то приближенно (с точностью до 3 дБ) можно считать справедливым следующее равенство:

Рис. 1.12. Логарифмическая амплитудная характеристика выражения

Предположим, что в результате построений имеет вид приведенный на рис. 1.12. Обозначим тогда Представленная на рис. 1.12 приближенная может быть заменена аналитическим выражением в виде передаточной функции

где К — передаточный коэффициент, откуда

Определим передаточный коэффициент через постоянные времени Из ЛАХ, приведенной на рис. 1.12, очевидно, что асимптота определится уравнением

Тогда при получим а при имеем т. е.

откуда

и

Подставляя это значение в выражение (1.47), получим

Последнее выражение не содержит дифференцирующего звена с постоянной времени т. е. полученное апериодическое звено имеет прежнюю постоянную времени но другой, изменившийся передаточный коэффициент. При этом ЛАХ не будет иметь излома при сопрягающей частоте и пойдет по прямым

В соответствии с изложенным можно сформулировать следующий порядок определения ЛАХ и передаточных функций корректирующих устройств, включенных в обратную связь:

1) в соответствии с заданными техническими требованиями, предъявляемыми к сервомеханизму, строится желаемая ЛАХ разомкнутого контура

2) строится ЛАХ исходной системы

3) строится ЛАХ той части сервомеханизма, которая охватывается обратной связью

4) находится ЛАХ выражения путем графического вычитания из в соответствии с выражением (1.45);

5) учитывая неравенство (1.46), находится ЛАХ, соответствующая произведению

6) определяется ЛАХ путем графического вычитания ЛАХ из ЛАХ произведения в соответствии с уравнением

Жесткая обратная связь. Предположим, что некоторые элементы исходной (неизменяемой) части сервомеханизма, имеющего передаточную функцию охвачены жесткой обратной связью с коэффициентом обратной связи (рис. 1.11, д).

Пусть

тогда передаточная функция замкнутого контура части сервомеханизма

Из последнего выражения видно, что жесткая обратная связь уменьшает постоянную времени и коэффициент передачи охватываемого ею контура в Раз Поэтому при необходимости повышения быстродействия жесткой обратной связью охватываются элементы с большими постоянными времени.

Отрицательные обратные связи очень часто используются для охвата исполнительного электродвигателя как наиболее инерционного звена. Пусть передаточная функция электродвигателя совместно с усилителем состоит из интегрирующего звена с апериодическим звеном (с замедлением):

а передаточная функция цепи обратной связи равна передаточному коэффициенту потенциометра, т. е. Тогда результирующая передаточная функция замкнутого контура

где

Очевидно, чем больше коэффициент усиления по цепи обратной связи, тем выше частота и тем меньше коэффициент затухания.

Скоростная обратная связь. Пусть передаточная функция части сервомеханизма, охваченной обратной связью, имеет вид колебательного звена

При наличии скоростной отрицательной обратной связи с передаточной функцией результирующая передаточная функция замкнутого контура

т. e. при введении отрицательной скоростной обратной связи коэффициент затухания увеличивается и, следовательно, колебательность сервомеханизма уменьшается. Можно показать, что ошибка сервомеханизма в установившемся состоянии в этом случае увеличивается.

Во многих случаях в качестве скоростной обратной связи используется тахометрическая обратная связь, охватывающая исполнительный двигатель. При этом передаточная функция цепи обратной связи где — передаточный коэффициент тахогенератора.

Результирующая передаточная функция замкнутого контура

где

Полученная передаточная функция отличается от исходной передаточной функции двигателя только уменьшением в раз передаточного коэффициента и постоянной времени. Если в качестве исходной величины рассматривать угол поворота вала двигателя, то эта обратная связь является скоростной (гибкой). Если в качестве исходной величины рассматривать скорость вращения двигателя, то обратная связь по напряжению тахогенератора окажется жесткой.

Отрицательная обратная связь по ускорению. При охвате двигателя обратной связью, состоящей из тахогенератора и дифференцирующего -контура, получим обратную связь по ускорению. В этом случае передаточная функция цепи обратной связи

где — постоянная времени дифференцирующего контура;

— передаточный коэффициент тахогенератора.

Результирующая передаточная функция двигателя, охваченного этой обратной связью,

Этот случай аналогичен включению эквивалентного последовательного интегро-дифференцирующего звена.

Если считать дифференцирующее звено идеальным (без запаздывания), то передаточная функция цепи обратной связи будет

а результирующая передаточная функция двигателя, охваченного этой обратной связью, примет вид

где — результирующая электромеханическая постоянная времени двигателя.

Из последнего выражения видно, что обратная связь по ускорению увеличивает электромеханическую постоянную времени электродвигателя.

При синтезе цепей обратных связей необходимо следить за тем, чтобы коэффициент усиления в прямой цепи исходной схемы сервомеханизма не оказался больше коэффициента усиления прямой цепи скорректированного сервомеханизма, так как в противном случае функция оказывается неминимально фазовой.

Положительные обратные связи. Положительные обратные связи находят значительно меньшее применение в качестве корректирующих устройств по сравнению с отрицательными. Иногда они применяются в качестве так называемых корректоров ошибки. Например, если на рис. прямая цепь представляет собой безынерционное звено с передаточным коэффициентом а в цепи обратной связи включено апериодическое звено с передаточной функцией то результирующая передаточная функция замкнутого контура

При выполнении условия последняя формула соответствует передаточной функции изодромного устройства, повышающего астатизм без заметного ухудшения устойчивости сервомеханизма. Повышение астатизма введением такого вида положительной обратной связи является простым в отношении реализации корректирующего устройства, однако равенства не всегда выполнимо.

Положительные обратные связи широко применяются в магнитных усилителях с целью уменьшения их постоянных времени при сохранении коэффициента усиления по мощности.

Реализация корректирующих устройств. Корректирующие устройства наиболее часто реализуются в виде пассивных электрических элементов, представляющих собой четырехполюсники, не содержащие источников питания. В этих устройствах обычно как входной, так и выходной величиной является электрическое напряжение. Пассивные корректирующие устройства строятся на стандартных -элементах. Наиболее употребительные типовые пассивные корректирующие устройства сведены в таблицы где приведены их схемы, передаточные функции и логарифмические частотные характеристики.

Помехозащищенность сервомеханизмов. Сервомеханизм должен удовлетворительно работать в условиях наличия шумов. Если командный сигнал не содержит ложных сигналов, то при проектировании сервомеханизма не встречается никаких трудностей, связанных с передачей сигналов в условиях шума. Однако часто имеются случаи, когда шум в командном сигнале искажает истинное желаемое положение управляемого вала. Часто шумовые составляющие сигнала лежат за пределами частотной характеристики сервомеханизма и требования в отношении передачи шумов могут быть заданы указанием полосы пропускания сервомеханизма, т. е. заданием амплитудно-частотной характеристики сервомеханизма. Если же частоты шума лежат в пределах требующейся полосы пропускания сервомеханизма, тогда для линейного сервомеханизма невозможно отличить шумы от истинных сигналов.

Уровень шума (нежелательных составляющих командного сигнала), передаваемый сервомеханизмом с передаточной функцией зависит от частотного спектра шума. Среднеквадратическое значение шума на выходе сервомеханизма (т. е. нежелательные составляющие выходной величины, вызываемые шумами в командном сигнале), пропорционально квадрату модуля передаточной функции замкнутой системы. Следовательно, характеристики передачи шумов могут быть выражены через передаточную функцию замкнутой системы. При наличии значительных шумов система обычно должна иметь возможно более узкую полосу пропускания для удовлетворения требований точности. Если при этих условиях сервомеханизм еще имеет недопустимо большой для данного применения уровень шумов на выходе, должны быть пересмотрены требования точности. При отсутствии каких-либо данных о шумах полоса пропускания сервомеханизма должна приниматься насколько возможно узкой при удовлетворении остальных требований.

Испытания сервомеханизма. При предварительных испытаниях выявляются и уточняются значения некоторых динамических постоянных параметров сервомеханизма. Для этой цели может оказаться желательным собрать части сервомеханизма для экспериментальной проверки. При этом двигатель с усилительным устройством присоединяют к искусственной нагрузке.

Для проведения этих испытаний обычно используются специальные механические стендовые устройства, оснащенные электронными усилителями. На испытательном стенде можно провести испытания как отдельных элементов, так и всего сервомеханизма в сборе. В тех случаях, когда некоторые элементы не могут быть установлены на стенде в виде макетов, например, если эти элементы требуют аэродинамической или гидравлической нагрузки, для имитации этих элементов используется моделирующее устройство, работающее совместно с реальными элементами. Иногда и весь сервомеханизм может быть исследован с помощью моделирования.

На стадии предварительных испытаний сервомеханизма на испытательном стенде или с помощью моделирующего устройства проверяют все позиции технического задания и отрабатывают как динамику сервомеханизма, так и его конструкцию.

На этой стадии проектирование заканчивается. При этом должна быть оформлена необходимая техническая документация на разрабатываемый сервомеханизм.

Целью окончательных испытаний является определение соответствия разработанного сервомеханизма своему назначению, соответствия конструкции сервомеханизма требованиям технического задания.