7. РАБОТА СЕРВОМЕХАНИЗМА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ИНЕРЦИОННОЙ НАГРУЗКОЙ

Пусть сервомеханизм вращается около вертикальной оси основания с установленной в нем трубой телескопа, которая может изменять наклон при повороте в вертикальной плоскости, проходящей через ее ось. Если при этом центр инерции трубы не совпадает с осью, то изменение наклона трубы приведет к изменению ее момента инерции относительно вертикальной оси при практически неизменном значений остальных нагрузок на сервомеханизм.

В некоторых условиях смещения рычажного устройства сервомеханизмом (например, в условиях невесомости) может изменяться приведенная к исполнительному двигателю сервомеханизма масса при неизменной статической нагрузке [13]. В этом случае обобщенная инерционная нагрузка на сервомеханизм изменяется как функция угла поворота (или смещения) исполнительного двигателя.

Рассмотрим силовой сервомеханизм с исполнительным двигателем вращательного движения с постоянным значением обобщенного коэффициента активного сопротивления и линейно меняющимся обобщенным приведенным моментом инерции [13]:

где — угол поворота исполнительного двигателя (регулируемая компонента вектора выхода) и

Пусть оператор потерь будет компоненты вектора входа и (регулируемая и нерегулируемая соответственно), а нерегулируемая компонента вектора выхода — эффективный момент исполнительного двигателя. В этом случае уравнение движения записывают в форме

а уравнение усилительного звена

которые в безразмерных переменных после исключения принимают форму:

где

Анализ собственных движений проводится при помощи уравнения возмущенного движения [13] относительно установившегося значения полагая отклонения колебательными (поэтому , что справедливо для сервомеханизмов с

причем Таким образом, решение задачи сводится к исследованию установившихся движений в нестационарной ) нелинейной (имеется член, содержащий системе второго порядка.

При обязательно что позволяет [12] проводить исследование системы уравнений типа

В работе [12] показано, что решения системы (VIII.50) устойчивы при любом выборе функций удовлетворяющих в области условно где — некоторые постоянные. Тогда достаточно, чтобы выполнялись условия где В — также постоянная, а — вспомогательная переменная.

Поскольку то перечисленные неравенства выполняются и при а невозмущенное движение устойчиво.

В случае, когда обязательно а коэффициенты системы (VIII.50) — неограниченные функции х и поэтому анализ устойчивости решений должен проводиться на конечном интервале, что относится к особенностям расчета на устойчивость сервомеханизмов с переменной инерционной нагрузкой.

Для того чтобы нулевое решение системы вида

при фиксированном х было устойчиво на конечном интервале при любом выборе функций удовлетворяющих неравенство

где — непрерывные положительные функции, необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения имели отрицательные действительные части, где — матрица, элементами которой являются числа единичная матрица.

Характеристическое уравнение первого приближения уравнения (VIII.39) при будет корни которого имеют отрицательные вещественные части, поскольку больше нуля. Для приближенной оценки интервала устойчивости в работе [3] рекомендуется произвольно задавать определенно-отрицательную форму на которой строится функция Ляпунова причем полная производная этой функции в соответствии с системой совпадает с формой По А. М. Ляпунову функция V будет определенно-положительной квадратичной формой. Интервал устойчивости где — промежуток безразмерного времени, на котором форма остается отрицательной.

Задаваясь для решения задачи получим функцию Ляпунова

и форму

Из неравенств типа где главные миноры матрицы квадратичной формы определяется наименьшим из значений, при котором нарушается одно из этих неравенств. Поэтому находится из уравнения

или

Корни полученного уравнения вещественны и один из них положителен, поскольку для случая поэтому при когда время рабочего цикла сервомеханизма больше интервала устойчивости, движение будет расходящимся.

При величину I можно выбрать в качестве малого параметра, при помощи которого проводится последующий анализ.

Реакция сервомеханизма на ступенчатое изменение сигнала управления отыскивается в виде степенного ряда причем Тогда порождающее уравнение и уравнения первого и второго приближения будут

откуда переходный процесс с учетом нулевого и первого приближений описывается выражением

где — коэффициенты, определяемые при решении линейных уравнений нулевого и первого приближений.

Можно заметить, что при колебательность меньше, чем при (линейная система), а установившаяся скорость падает на величину при колебательность увеличивается, а возрастание установившейся скорости определяется темже выражением.

Вынужденные колебания скорости сервомеханизма относительно установившегося значения можно анализировать методом малого параметра. В этом случае, записывая правую часть уравнения (VIII.48)

в форме где и — безразмерная частота, получим уравнение нулевого и первого приближений

и выражение вынужденных колебаний безразмерной скорости с точностью до второй гармоники

где и коэффициенты, определяемые при решении линейных уравнений первого и второго приближений.

При амплитуда основной гармоники зависит от времени, уменьшаясь при и возрастая при

Расчеты сервомеханизмов (время переходного процесса, перерегулирование, размах вынужденных колебаний скорости сервомеханизма относительно ее установившегося значения, интервал устойчивости и т. п.), работающих с переменной инерционной нагрузкой, целесообразно проводить на ЦВМ и определять интервал устойчивости лишь в случае, когда т. е. когда с увеличением времени значение инерционной нагрузки уменьшается.

Случаи нелинейного уменьшения инерционной нагрузки с увеличением угла поворота исполнительного двигателя сервомеханизма в настоящее время еще не исследованы.