6. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ

Передаточная функция несимметричного двухфазного асинхронного электродвигателя. Выше была выведена система уравнений (111.19), описывающих физические процессы в несимметричном двухфазном электродвигателе. Предположим, что обмотка возбуждения электродвигателя подключена к источнику питания с напряжением

а на управляющей обмотке двухфазного электродвигателя действует напряжение

Система уравнений (111.19) является нелинейной. Однако, учитывая незначительное влияние электродвижущей силы вращения ротора на величину тока в обмотке возбуждения, в особенности в области скоростей, значительно отличающихся от синхронной, систему (111.19) можно свести к линейной системе дифференциальных уравнений с

переменными коэффициентами и взять за основу при определении передаточной функции двухфазного электродвигателя. Такое упрощающее предположение не лишено оснований, так как обычные двухфазные электродвигатели, применяемые в маломощных следящих системах, в счетно-решающих устройствах и в системах дистанционного управления имеют зависимость момента от скорости вращения достаточно близкую к линейной и соответствующую по своему характеру уменьшению вращающего момента при увеличении скорости. Такого рода характеристики электродвигателя могут быть получены, как это было показано выше, при условии, когда активное сопротивление ротора значительно превосходит по своей величине его реактивное сопротивление, а также сопротивление связи между цепями статора и ротора. Такое предположение будет тем более оправданным, чем меньше диапазон используемых скоростей.

Таким образом, пренебрегая влиянием электродвижущей силы вращения ротора на ток в обмотке возбуждения, получим систему уравнений, которая может быть положена в основу определения передаточной функции двухфазного электродвигателя:

где

Решение этой системы уравнений может быть разбито на три этапа. Первый этап связан с определением тока возбуждения и соответствующего тока ротора На втором этапе находятся изображения тока управляющей обмотки и соответствующего тока ротора На последнем этапе находится передаточная функция по уравнению движения двухфазного электродвигателя на основании найденных значений токов а также изображений токов

Из первого и третьего уравнений системы (III.50) можно определить токи Однако при этом следует иметь в виду, что обмотка возбуждения подключена к источнику питания с фиксированным напряжением, которое в процессе работы электродвигателя остается неизменным. Вследствие этого для решения системы уравнений (III.50) достаточно определить только установившиеся значения тока

возбуждения и соответствующего тока в роторе Выполнив необходимые математические преобразования, найдем установившееся значение тока возбуждения

и установившееся значение соответствующего тока в роторе

где

Для определения изображений токов необходимо значения токов [выражения (III.51) и (III.52)] подставить вместо в уравнения второе и четвертое системы (III.50), в которые входят две неизвестные функции . Полагая, что функции имеют своими изображениями соответственно функции получим на основании теоремы о смещении в комплексной области

где

Из уравнений (III.57) находим изображения токов

где

Найденные изображения токов в обмотке управления и в роторе позволяют применить одну из частных форм теоремы свертки функций с целью нахождения передаточной функции двухфазного электродвигателя по уравнению движения, которое является пятым в системе (II 1.50).

Подставив в пятое уравнение системы (II 1.50) токи , определяемые уравнениями (111.51) и (III.52), получим

Уравнение (111.64) можно решить, применяя теорему свертки функций. Известно, что если функции преобразуемы по Лапласу и имеют своими изображениями функции соответственно и если представляет собой рациональную алгебраическую дробь, имеющую только простых полюсов, то действительно равенство

Применяя равенство (111.65) к уравнению (111.64) и имея при этом ввиду выражения (111.62) и (II 1.63), получим

где

На основании равенства (III.58) и (III.59) функции могут быть определены в следующем виде:

При подстановке этих функций в уравнение (II 1.66) в правой части появятся составляющие двойной несущей частоты, на которые ротор двухфазного электродвигателя реагировать не будет вследствие своей инерционности. Поэтому в первом приближении этими составляющими можно пренебречь. Учитывая это, уравнение (111.66) можно преобразовать к виду

или

где

Из последнего уравнения находим передаточную функцию двухфазного электродвигателя

Выразив функции через параметры двухфазного электродвигателя, имея в виду уравнения получим в знаменателе передаточной функции (II 1.79) полином пятого порядка, а в числителе — полином четвертого порядка. Передаточная функция (111.79) существенно упрощается, если предположить, что коэффициент связи между обмотками равен единице, а постоянная времени ротора значительно меньше постоянных времени обмоток статора Первое предположение соответствует пренебрежению потоками рассеяния, а второе весьма близко к реальным условиям, так как обычно двухфазные электродвигатели имеют большое активное сопротивление ротора. В этом случае функции принимают вид

После подстановки формул в уравнение (111.79) получим передаточную функцию двухфазного электродвигателя

где

Полученное выражение передаточной функции учитывает не только электромеханическую постоянную времени, но и электрические переходные процессы в обмотках электродвигателя, скорость протекания которых обусловлена величиной электрических постоянных времени.

Передаточная функция симметричного асинхронного двухфазного электродвигателя.

При симметричной системе обмоток электродвигателя постоянные времени равны, т. е.

Учитывая это, из передаточной функции (II 1.83) получим передаточную функцию симметричного электродвигателя

где

Формула (111.90) совместно с выражениями определяют передаточную функцию симметричного электродвигателя.

Из уравнения (111.79), как впрочем и из уравнений (III.83) и (111.90), можно получить известные в литературе передаточные функции асинхронного двухфазного электродвигателя. Так, например, считая постоянные времени обмоток электродвигателя получим из уравнений (111.79) и (111.83), полагая и имея ввиду, что

или для симметричного электродвигателя, когда

Передаточная функция, определяемая уравнениями (111.96) или (111.97), получена в предположении быстро затухающих электрических процессов в обмотках электродвигателя и, следовательно, очень малых постоянных времени, обусловленных индуктивными эффектами цепей статора и ротора. Подобное предположение о величине постоянных времени обмоток не находится в противоречии с допущением, при котором активное сопротивление ротора по своей величине является значительно превосходящим сумму реактивных сопротивлений ротора и цепей связи между статором и ротором.

Из уравнений (III.79) и (III.83) можно получить передаточную функцию, соответствующую предположению, что электрические постоянные времени обмоток достаточно велики. Тогда, полагая и заменяя на а также на величину получим для симметричного электродвигателя

Заменяя на в уравнении (II 1.98), найдем выражение амплитудно-фазовой характеристики электродвигателя в том виде, в каком оно приводится в работе [3], т. е.

Таким образом, передаточные функции (II 1.97) и (II 1.98) являются частными случаями передаточных функций (II 1.83) и (111.90) или в более общем случае передаточной функции (III.79).

Рис. III. 13. Схема подключения обмотки управления двухфазного электродвигателя к усилителю мощности

Передаточная функция несимметричного двухфазного электродвигателя, управляемого электронным усилителем. Выше были выведены передаточные функции (111.83) и (111.90) несимметричного и симметричного двухфазного асинхронного электродвигателя без учета параметров внешней цепи, питающей обмотку управления электродвигателя. При этом предполагалось, что внешняя цепь, с помощью которой осуществляется управление исполнительным электродвигателем, достаточно мощная и имеет такие величины параметров, которые несоизмеримы с величинами аналогичных параметров обмотки управления и вследствие этого могут не учитываться. Однако в практических условиях управляющие усилители, питающие обмотку управления электродвигателя, обладают ограниченной мощностью и по этой причине их приходится рассматривать как источник питания с внутренним сопротивлением, отличным от нуля. Во многих случаях это сопротивление может быть значительным, что в конечном итоге приводит к изменению статических и динамических характеристик электродвигателя, как элемента, получающего питание от этого источника.

Ниже ставится задача получения передаточной функции несимметричного двухфазного электродвигателя с учетом параметров усилителя мощности.

На рис. III.13 показана типовая схема подключения обмотки управления электродвигателя к усилителю мощности. Так как трансформатор работает на нагрузку определяемую управляющей обмоткой, то эквивалентная схема усилителя мощности вместе с нагрузкой будет иметь вид, показанный на рис. III.14. При коэффициенте трансформации активное сопротивление вторичной обмотки трансформатора индуктивность рассеяния вторичной цепи а также полное сопротивление нагрузки пересчитанное в первичную цепь, примут значения, равные Указанные величины совместно с индуктивностью намагничивания индуктивностью рассеяния и активным сопротивлением первичной обмотки трансформатора образуют активное и реактивное сопротивления нагрузки для ламп усилителя мощности, у каждой из которых внутреннее сопротивление равно величине а коэффициент усиления равен

Рис. III.14. Эквивалентные схемы: а — усилителя мощности, нагруженного на обмотку управления двухфазного электродвигателя; б — упрощенная схема усилителя мощности; в — усилителя мощности с учетом параметров цепи управления

С целью получения активного сопротивления нагрузки и наибольшей снимаемой с лампы мощности первичную обмотку трансформатора шунтируют емкостью С, величину которой выбирают из соображений настройки цепи на резонанс токов на несущей частоте

Эквивалентную схему рис. III.14,а можно упростить, если иметь в виду, что индуктивность рассеяния трансформатора значительно меньше индуктивности контура намагничивания а активное сопротивление первичной обмотки обычно мало. В этом случае, перенеся соединение в точке А (рис. III.14,а) в точку В, получим эквивалентную схему на рис. которая и может быть положена в основу определения передаточной функции несимметричного двухфазного электродвигателя с учетом параметров усилителя мощности.

Система уравнений для электродвигателя в рассматриваемом случае будет отличаться от ранее выведенной системы (111.50) только

лишь вторым уравнением для обмотки управления, которая в данной задаче определяется эквивалентной схемой

Если напряжение на входе усилителя мощности равно

то линеаризованная система уравнений для электродвигателя, управляемого усилителем, будет иметь вид

где

Решая систему уравнений (III. 100) методом, аналогичным используемому при выводе передаточной функции несимметричного двухфазного электродвигателя, получим передаточную функцию вида (II 1.79), но с иными значениями функций

При коэффициенте связи между обмотками электродвигателя равном единице, т. е. в случае отсутствия потоков рассеяния, и при постоянной времени ротора значительно меньшей постоянных времени обмотки возбуждения и цепи управления передаточная

функция несимметричного двухфазного электродвигателя, управляемого электронным усилителем мощности, будет определяться выражением

где

Так как цепь управления (рис. III. 14) обычно настраивают на резонанс токов на несущей частоте, а условием резонанса следует считать равенство

если сама обмотка управления может быть заменена эквивалентным сопротивлением в соответствии со схемой рис. III. 14,в, то для определения передаточной функции несимметричного электродвигателя с учетом параметром усилителя мощности и настройки цепи управления на резонанс токов в выражение (III. 106) необходимо ввести емкость С, вычисленную в соответствии с формулой

Для цепи управления, настроенной на резонанс токов на несущей частоте, функции принимают значения

где

После подстановки выражений (III.114) и (III.115) в формулу (III.106) получим передаточную функцию несимметричного электродвигателя, учитывающую параметры настроенной на резонанс токов управляющей цепи. Эта передаточная функция имеет вид

где

— постоянная времени, определяемая уравнением (III.108).

Передаточная функция (III. 120) может быть использована для построения частотных характеристик двухфазного электродвигателя

при любом соотношении между индуктивным и активным сопротивлениями его обмоток и при любой величине внутреннего сопротивления источника питания управляющей обмотки.

Представляют интерес два частных случая, которые получаются из уравнения (III. 120), если осуществить предельные переходы

Полагая, что постоянная времени очень велика по сравнению с другими постоянными времени и по мере увеличения мощности источника питания управляющей цепи стремится к бесконечно большой величине, так как стремится к нулю, получим для величин следующие значения:

Передаточная функция, соответствующая этому частному случаю, по своей структуре будет определяться выражением (III. 120), в котором параметры следует вычислять по системе уравнений (III. 128), а передаточный коэффициент К по формуле

Если предположить, что первичная и вторичная обмотки выходного трансформатора усилителя мощности имеют активное сопротивление и индуктивность рассеяния, равные нулю, то постоянная времени будет равна постоянной времени обмотки управления электродвигателя. При этом выражение (III. 120) с учетом системы уравнений (III. 126) и формулы (III. 127) будет являться передаточной функцией несимметричного электродвигателя, управляемого усилителем бесконечно большой мощности с коэффициентом усиления

Следует заметить, что передаточная функция (III. 120) может быть сведена к передаточной функции с параметрами, определяемыми по уравнениям (III.126) и (III.127), не только при бесконечно больших значениях но и при конечных величинах постоянной времени Для этого достаточно выполнить условие, при котором постоянная времени по крайней мере раз в десять больше каждой из двух постоянных времени

Второй частный случай соответствует противоположному предположению, когда постоянная времени считается величиной малой и определяется источником питания с ограниченной мощностью. Полагая, что постоянная времени значительно меньше любой из постоянных а также считая соот! 1, что выполняется в большинстве случаев, получим передаточную функцию несимметричного электродвигателя, управляемого электронным усилителем мощности, в следующем виде:

где К вычисляется в соответствии с выражением (III. 123).