Приложение 1. Теория ионизационной неустойчивости

В этом разделе выводятся основные уравнения, описывающие ионизационные колебания в разрядах эксимерных лазеров. Условие возникновения неустойчивости и ее начальная скорость роста получены с использованием стандартных методов [14].

П.1.1. Модель плазмы

Разряды эксимерных лазеров высокого давления атм) создают высокоионизованную и сильно возбужденную плазму со средней энергией электронов в несколько электронвольт. В установках с разрядом большого объема поведение плазмы определяется не процессами переноса, а столкновительными процессами. Ионизационная неустойчивость возникает локально, когда во время флуктуации процессы многоступенчатой ионизации создают больше электронов, чем их исчезает за счет столкновений. Разобраться в микроскопических физических механизмах, управляющих ионизационной неустойчивостью, можно с помощью простой модели, описывающей плазму разряда эксимерного лазера. В последующих разделах мы приведем и обсудим уравнения, описывающие локальную эволюцию плазменных флуктуаций в рамках этой модели разрядной плазмы. Кроме того, запишем условие возникновения ионизационной неустойчивости, обусловленное усилением этих флуктуаций, а также представим выражение, описывающее поведение во времени начального усиления или скорость роста неустойчивости.

П.1.2. Динамика тяжелых частиц

При условиях, соответствующих развитию ионизационной неустойчивости, электроны образуются главным образом благодаря процессам многоступенчатой ионизации электронно-возбужденных частиц. Процессы возбуждения и дезактивации отдельных состояний протекают со скоростью большей, чем суммарная скорость ионизации [1, 2]. Суммарной скоростью ионизации определяется скорость развития неустойчивости. Кроме того, на временах, соответствующих развитию неустойчивости, процессы переноса частиц и газовой динамики можно считать замороженными. В квазистаци-онарном процессе плотность электронов связана с плотностями электронно-возбужденных частиц следующим уравнением:

где — константа скорости возбуждения электронами электронного перехода — константа скорости тушения тяжелыми частицами электронного состояния и — константа скорости ионизации электронами из 1-го электронного состояния. В уравнении (П. 1.1) не учтен вклад процесса образования возбужденных состояний непосредственно электронным пучком, поскольку разряды эксимерных лазеров, как правило, работают в режиме, при котором этот эффект пренебрежимо мал. Число возбужденных состояний, участвующих в ионизационном процессе, зависит от конкретных свойств среды. Для разрядов в галогенидах инертных газов [9] основную роль играют первые метастабильные электронные состояния и В случае галогенидов металлов и паров металлов [28] в разрядах возбуждаются несколько электронных состояний атомов металла и В разрядах эксимерных лазеров плотности возбужденных состояний атомов определяются, как правило, столкновительными, а не излучательными процессами. Тушение возбужденных состояний за счет столкновений с тяжелыми частицами, определяемое в уравнении (П. 1.1) членами обычно с вероятностью порядка единицы приводит к образованию эксимерных молекул [3, 12].

П.1.3. Динамика электронов и электромагнитного поля

Пренебрегая процессами переноса для рассматриваемой модели кинетики плазмы, можно написать следующее уравнение непрерывности

для электронов:

где — коэффициент потерь электронов, а - констант скорости ионизации электронами электронного состояния. Диссоциативная рекомбинация или прилипание электронов представлю собой, как правило, основные процессы потерь электронов. случае диссоциативного прилипания коэффициент потерь электрс нов а дается выражением

где — плотность числа электроотрицательных частиц, а — константа скорости диссоциативного прилипания. Из выражени (П. 1.3) следует, что коэффициент потерь электронов не зависит плотности электронов. Хотя диссоциативное прилипание приводи к образованию отрицательных ионов, их плотность обычно значи тельно меньше, чем плотность электронов. Аналогично для случа) диссоциативной рекомбинации, если — константа скорости этогс процесса, коэффициент потерь электронов запишется в виде

т.е. в этом случае мы имеем линейную зависимость от плотностг электронов. Величина есть суммарная скорость образованш электронов под действием инжектируемого пучка электронов высо кой энергии. Так как кинетика возбужденных состояний являете» квазистационарной, мы можем решить (см. приложение 2) связанные между собой уравнения непрерывности для возбужденных состояний [уравнения (П. 1.1)]. В результате для любого момента времени получим плотность каждого возбужденного состояния в виде функции локальной плотности электронов и кинетической температуры [14], т. е. При этом уравнение непрерывности для электронов можно записать следующим образом:

где суммарная скорость ионизации

является функцией плотности электронов и температуры.

Поскольку в разрядах эксимерных лазеров время передачи энергии электронами значительно меньше времени ионизации, можно написать следующее выражение для энергии электронов:

где — частота столкновений с передачей энергии электронами, — вектор плотности электронного тока и Е — электрическое поле в разряде. В выражении (П. 1.7) не учитывается непосредственный вклад энергии от электронного пучка, поскольку он обычно мал по сравнению с омическим нагревом электронов в электрическом поле. Кроме того, в этом выражении зависимость величины от плотности возбужденных состояний устранена с помощью уравнения (П. 1.1). Плотность электронного тока и электрическое поле связаны законом Ома:

где а — электронная проводимость, — эффективная частота столкновений с передачей импульса.

В данном случае для интересующих нас относительно медленных возмущений, связанных с ионизационной неустойчивостью, плазма является квазинейтральной, а электромагнитное поле — квазистатическим. Таким образом, электрическое поле определяется уравнениями

П.1.4. Анализ устойчивости

П. 1.4.1. Флуктуации малой амплитуды

Уравнения движения, приведенные в данном приложении, описывают развитие локальных возмущений в случае, когда динамика плазмы определяется процессами столкновений, а не процессами переноса. Из-за флуктуаций плазмы, шума, генерируемого турбулентностями потока, из-за пульсаций источника питания и т.д. внутренний объем разряда высокой энергии вообще не может быть локально стационарным или однородным. Если амплитуда флуктуаций достаточно мала, то полезно представить свойства плазмы в виде суммы пространственно почти однородной стационарной величины и изменяющейся во времени и пространстве флуктуации нормипованной на

Через мы обозначили набор основных свойств плазмы, необходимых для описания ее поведения: Представляя возмущение в таком виде, основные уравнения можно разложить на компоненты нулевого и первого порядка, описывающие соответственно стационарные и флуктуирующие величины. Анализом устойчивости этих флуктуаций малой амплитуды мы и займемся ниже

П.1.4.2. Условия существования стационарного состояния

Условия существования стационарного состояния плазмы определяются уравнениями

Протекание в разряде реакций может вызвать уменьшение концентрации некоторых частиц, что приводит к появлению характерных времен разряда. Однако ионизационная неустойчивость развивается за характерные времена, которые намного меньше, чем времена указанных реакций, и поэтому уравнения обеспечивают неплохое описание соотношений между основными характеристиками стационарной плазмы, такими, как .

П.1.4.3. Условие возникновения неустойчивости

Подставляя выражение в уравнения с последующей их линеаризацией с помощью можно получить систему линейных уравнений, которая описывает эволюцию флуктуаций малой амплитуды. Чтобы решить эти уравнения, необходимо найти зависимость начальных возмущений от пространственных координат и времени. Если источник возмущения 0 удовлетворяет условию для то с помощью преобразования Фурье — Лапласа общий отклик плазмы на эту начальную флуктуацию можно записать в виде

где величина выбирается таким образом, чтобы для обеспечения однозначности контур на плоскости со располагался ниже всех

особых точек подынтегрального выражения. Функция полученная из уравнений имеет вид

где

Величина в представляет собой угол между волновым вектором возмущения к и направлением электрического поля в разряде Е. В общем случае для локализованного начального возмущения функция является аналитической. В выражении нетрудно вычислить интеграл по со, что дает

Исследование асимптотического поведения соотношений, аналогичных показывает [4, 15, 27], что необходимым и достаточным условием неустойчивости является выполнение неравенства записанного для некоторого действительного значения комплексной величины к. Исследование рассматриваемых в нашем случае выражений показывает, что неустойчивость возникает, если для некоторого значения в мы имеем Кроме того, скорость роста неустойчивости определяется неравенством Из выражения также следует, что, хотя неустойчивыми могут быть отдельные фурье-компоненты, неустойчивость при ее развитии не обязательно должна иметь форму волны.

Обычно условия возникновения ионизационной неустойчивости получают с помощью выражений определяя угол в, при котором впервые станет больше нуля, т. е. впервые возникнет рост неустойчивости. Как можно видеть из следующих нестрогих рассуждений, для многих интересующих нас случаев условие в первую очередь выполняется для величин в, близких к 0 или . Для условий, типичных в случае разрядов эксимерных лазеров, зависимость и от плотности электронов является слабой, знаменатель в выражении оказывается

положительным и в. В этом случае условия возникновения и окончательные характеристики неустойчивости [стратифицирование или схлопывание разряда зависят от знака величины

В случае когда разряд будет неустойчивым, если выполняется неравенство

Эта ионизационная неустойчивость ведет к формированию страт разряде. Такая неустойчивость возникает в разрядах -лазеров (см. гл. 2 настоящей книги, а также работы [10, 13, 14, 20, 26, 27]). Для известных разрядов эксимерных лазеров удовлетворяется условие и разряд будет неустойчив, если выполняется неравенство

Эта ионизационная неустойчивость ведет к схлопыванию и шнурованию разряда. Она является преобладающей неустойчивостью в разрядах KrF-лазеров [5, 6, 8]. Для многих, но не обязательно для всех интересующих нас ситуаций условие ионизационной неустойчивости в разрядах эксимерных лазеров можно с хорошей степенью точности записать в виде

или

Скорость нарастания неустойчивости при условиях, когда имеют место неравенства записывается приближенно

в виде

Характерное время нарастания неустойчивости приблизительно равно времени ионизации

В настоящей главе мы детально исследовали условия возникновения ионизационной неустойчивости, приводящей к схлопыванию разряда в эксимерных лазерах. Мы показали, что такая ионизационная неустойчивость преобладает в разрядах эксимерных лазеров, изученных к настоящему времени. Вообще говоря, в практических приложениях каждую ситуацию следует рассматривать индивидуально. В первую очередь следует определить основные кинетические процессы, протекающие в разряде. Затем, анализируя выражения необходимо правильно определить условия возникновения ионизационной неустойчивости и ее свойства (приводит ли она к стратифицированию или схлопыванию разряда).