4.2. Кинетические уравнения

4.2.1. Общее рассмотрение

Колебательную релаксацию в газовых молекулярных системах удобно описывать кинетическими уравнениями, определяющими населенности отдельных квантовых колебательных состояний. Можно считать, что в типичной среде газового лазера вращательные и поступательные степени свободы молекул приходят в состояние локального равновесия за очень короткое время по сравнению со временем, необходимым для релаксации колебательной энергии. Поэтому при формулировке кинетических уравнений для населенностей колебательных состояний вращательные и поступательные степени свободы рассматриваются как один общий тип движения с больцмановским распределением по энергиям. Это распределение можно использовать для усреднения зависящих от скорости сечений процессов колебательной релаксации отдельных колебательных состояний. Кинетическое уравнение, описывающее изменение во времени населенности колебательного состояния молекулы при столкновительной передаче энергии, имеет вид

где — населенность колебательного квантового состояния; — скорость столкновительного процесса между молекулами в состояниях и (с населенностями соответственно при котором молекула, находящаяся в состоянии переходит в состояние а молекула, находящаяся в состоянии переходит в состояние пгпк — скорость протекания соответствующих обратных процессов.

Константы скорости и Р представляют собой интегралы от сечений неупругих бинарных столкновений, вызывающих рассматриваемые переходы между квантовыми колебательными состояниями. Эти интегралы берутся в предположении, что вращательные и поступательные степени свободы имеют больцмановское распределение. В соответствии с этим константы скорости прямого и обратного процессов связаны между собой принципом детального равновесия:

где и т. д. — энергия соответствующих квантовых состояний, температура равновесных вращательных и поступательных степеней свободы. Следует отметить, что

т.е. отношение констант скорости прямого и обратного процессов равно отношению населенностей колебательных состояний, соответствующих равновесному состоянию системы. Выполнимость этого условия гарантирует то, что стационарное решение уравнения (1) будет непременно соответствовать больцмановскому распределению по колебательным состояниям с температурой Т.

Следует заметить, что, хотя уравнение (1) мы сформулировали конкретно для задачи колебательной релаксации в газах, его используют в статистической механике как основное кинетическое уравнение для описания необратимых процессов. Вывод такого кинетического уравнения из уравнений движения в случае больших систем приводится в литературе по статистической механике [132].

Уравнения (1) являются нелинейными относительно населенностей колебательных состояний. Для случая малых отклонений от больцмановского равновесия эти общие уравнения всегда можно линеаризовать. В механике полученные таким образом линейные уравнения первого порядка, описывающие возвращение системы к равновесию, называют релаксационными уравнениями [47]. Исторически сложилось так, что в большинстве работ по колебательной релаксации исследовались условия, соответствующие возвращению к равновесию систем, которые в начальный момент времени характеризовались неравновесными функциями распределения; отсюда появился широко используемый в этих работах термин «колебательная релаксация». Однако в реальных газовых лазерах благодаря непосредственному подводу энергии в колебательные моды с помощью электрического разряда, оптического поглощения или иного способа накачки может поддерживаться неравновесная стационарная функция распределения по колебательным уровням. Чтобы описать такие процессы, в правую часть уравнения (1) необходимо ввести дополнительные члены, соответствующие источникам накачки, причем аналитический вид этих членов должен определяться рассматриваемым способом возбуждения. Кроме того, всякий раз, когда скорости спонтанных и вынужденных радиационных переходов оказываются соизмеримыми со скоростями, обусловленными столкновительными процессами, в уравнение (1) можно добавить соответствующие линейные члены. Впоследствии мы приведем примеры таких кинетических моделей, используемых для описания

лазеров; однако в данной главе мы будем рассматривать основное кинетическое уравнение колебательной релаксации (1) без учета источников накачки.