Главная > Газовые лазеры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2.2.3. V — Т-релаксация простого гармонического осциллятора

Возможно, что простейшим приложением уравнения (4) является модель гармонического осциллятора для двухатомной молекулы А, находящейся в окружении одноатомного газа Б. В этом случае в уравнении (4) сохраняются лишь члены, описывающие столкновения молекул А с атомами Б, не имеющими колебательных степеней свободы. При этом уравнение (4) принимает следующий вид:

Можно показать [47, 106], что для простых моделей, описывающих рассеяние атома на гармоническом осцилляторе, константы скорости элементарных процессов V — Т-релаксации линейно

зависят от колебательного квантового числа:

Такая зависимость от квантового числа совпадает с зависимостью от квантового числа вероятности дипольного радиационного перехода гармонического осциллятора. Однако в данном случае выражение (8) получено для переходов, индуцированных столкновениями, и представляет собой приближение к действительной зависимости скорости V — Т-релаксации от квантового числа, что демонстрируется более точными расчетными данными для СО — Не, приведенными на рис. 1. Можно убедиться в том, что выражение (8) достаточно точно описывает данные, приведенные на лишь для нескольких самых нижних гармонических квантовых состояний. Однако для выражение (8) дает скорости релаксации в случае смеси СО — Не с ошибкой, превышающей реальные скорости возрастают с квантовым числом гораздо быстрее, чем это предсказывает линейная зависимость. Поэтому необходимо помнить, что приводимые ниже аналитические результаты, полученные на основе выражения (8), являются справедливыми лишь для нескольких самых нижних колебательных уровней. Следует заметить, однако, что многие важные процессы колебательной релаксации протекают с участием только этих состояний.

Используя уравнение (7) и выражение (8), можно получить очень простое выражение для времени релаксации колебательной энергии. Для этого умножим обе части уравнения (7) на — плотность газа — частота колебаний) и выполним суммирование по всем значениям . В результате получим следующее уравнение [58]:

где — колебательная энергия, запасенная в единице массы газа:

а — значение когда соответствует равновесному распределению при температуре Т. Величина связана с временем колебательной релаксации выражением

Исторически сложилось так, что является параметром колебательной релаксации, который наиболее хорошо измеряется в экспериментах. Наблюдение за поведением температуры и плотности при релаксации колебательно-возбужденных молекул газа позволяет непосредственно получить значение Используя измеренные таким образом времена колебательной релаксации, с помощью выражений (8) и (11) можно найти константы скорости конкретных элементарных процессов V — Т-релаксации. Благодаря применению различных лазерных экспериментальных методов теперь стали общепринятыми более детальные измерения констант скорости элементарных процессов для отдельных состояний, а не измерения полного времени релаксации (см. разд. 4.3.2.3 и цитируемые там работы). Тем не менее огромное число ранее полученных данных по временам колебательной релаксации для большого числа молекул и широкого интервала температур [22] все еще приносят пользу при анализе различных газовых лазерных систем.

Приближение гармонического осциллятора позволяет получить еще один важный результат. Так, если молекулы, описываемые уравнением (7) и последующими выражениями, в начальный момент времени имеют больцмановское распределение с температурой то такая система будет стремиться к конечному состоянию, соответствующему равновесной функции распределения при температуре причем промежуточные состояния будут описываться больцмановским распределением с температурой Этот результат проще всего продемонстрировать, подставляя в уравнение (7) зависимость величины от в виде соотношения Больцмана

а также используя следующую формулу для энергии гармонического осциллятора:

и соотношение (8). Тогда для можно получить уравнение, не зависящее от и обладающее тем свойством, что его решением является распределение (12).

Следует также заметить, что в классических теоретических работах Монтрола и Шулера [77, 78] для линейного уравнения (7) было получено аналитическое решение в предположении, что константа скорости линейно зависит от квантового числа, т.е. выполняется соотношение (8). Развитие этой теории и возможные ее приложения рассматривались Оппенгеймом и др. [84].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление