12.5. Однородно распределенные потери

Первый грубый расчет [13] характеристик лазера с высоким усилением в присутствии нестационарного поглощения уже давно заменен простым, но все же достаточно точным приближением, справедливым для систем небольших размеров (разд. 12.5.2). Эта модель позволяет получить решение как аналитически, так и численными методами (разд. 12.5.3). При масштабировании лазеров с целью перехода к высоким средним мощностям (разд. 12.5.4) применяются сложные, но более точные численные модели.

Ригрод [48] вывел выражения, которые описывают эффекты насыщения в лазерах (как с низким, так и с высоким усилением [49]), имеющих однородно уширенные спектры. Шульц-Дюбуа [54] получил точное решение для лазера с однородным уширением, который имеет как высокое усиление, так и однородно распределенные потери. Однако трансцендентное решение трудно получить в аналитической форме, и эта задача представляет собой значительную проблему при преобразовании ее к форме, подходящей для проведен и численного решения с помощью ЭВМ.

12.5.1. Точное решение

Пусть в одномерном лазере с однородно уширенной линией, имеющем ненасыщенный коэффициент усиления с) 0 и постоянный коэффициент потерь «0, нормированные интенсивности поля излучения, распространяющегося в направлениях и лазерного генератора, равны соответственно (рис. 16)

Здесь — насыщающая интенсивность поля. Насыщенный коэффициент усиления связан с ненасыщенным коэффициентом усиления постоянным коэффициентом потерь «0 соотношением

Коэффициент усиления является изотропным:

откуда следует, что

Подставляя в (15) выражение (16), получаем

Разделяя переменные, находим

или

Уравнение (20) можно упростить, используя следующие подстановки:

Подставляя эти выражения в (20), имеем

Интегрируя по длине резонатора, уравнение (22) можно переписать в виде

Эти интегралы содержат члены в которых имеет вид

причем Правую часть уравнения (23) можно переписать в виде

или

Рис. 16 Схематическая диаграмма нормированных уровней потока излучения не симметричном лазерном генераторе при наличии постоянных потерь в положительном и отрицательном направлениях

Это уравнение можно проинтегрировать по длине резонатора, определив следующие граничные условия (рис. 16):

причем коэффициент отражения зеркала при равен а при равен Генерация излучения будет устойчивой при значениях поля, удовлетворяющих граничным условиям

Заметив

получим

Интеграл

Имеет несколько значений, которые зависят от выбора величины Потребуем, чтобы выполнялось условие

Интегрирование уравнения (26) приводит к выражению

здесь

Точное решение, задаваемое уравнением (31), трудно получить в аналитической форме; его нельзя свести к простому выражению, которое бы описывало работу лазера, имеющего однородно уширенную линию, в отсутствие поглощения средой Само собой не очевидно, что выражение (31) сводится к пороговому условию возникновения генерации

Макроскопические параметры, используемые для описания работы лазера, такие, как мощность, выводимая из лазерного резонатора или приведенная интенсивность излучения довольно трудно получить из уравнения (31).

Мощность пучка, выводимого из резонатора и имеющего площадь А, определяется выражением

где приведенная полная интенсивность излучения (30 равна (рис. 16)

Кпд лазера определяется как отношение реальной выходной мощности (34) к максимальному возможному значению выходной мощности. Вспомним, что, как было указано в разд. 12.4, флуоресценция, наблюдаемая вдоль оптической оси, сравнима по величине с флуоресценцией в боковом направлении. Флуоресценция вдоль оптической оси соответствует реальной выходной мощности. Наблюдение флуоресценции сбоку — это способ регистрации, при котором проявления всех процессов радиационных потерь, таких, как рассеяние и поглощение, сводится до минимума. В идеальном эксперименте все потери должны быть исключены из рассмотрения, так что выходную мощность излучения, испускаемого объемом V, в этом случае можно записать в виде

где I — интенсивность. При отсутствии всех видов поглощения, кроме тех, которые связаны с самим лазерным переходом, имеем

В идеальном случае максимальная выходная мощность реализуется, когда все потери (радиационные и нерадиационные) близки к нулю. В этом случае интенсивность I стремится к бесконечности и мы можем напигать следующее выражение:

Таким образом, кпд лазера запишется в виде

где .