§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы
Начнем
с некоторой классификации неразложимых матриц.
Определение 3. Если
неразложимая матрица
имеет всего
характеристических
чисел
с
максимальным модулем
, то матрица
называется
примитивной при
и импримитивной при
. Число
называется
индексом импримитивности матрицы
.
Индекс
импримитивности
сразу определяется,
если известны коэффициенты характеристического уравнения
(
;
,
,…,
)
матрицы, а именно число
равно наибольшему общему делителю
разностей
(80)
Действительно,
согласно теореме Фробениуса спектр матрицы
в комплексной
-плоскости
переходит в себя при повороте па угол
вокруг точки
. Поэтому многочлен
должен получиться
из некоторого многочлена
по формуле
.
Отсюда
следует, что
- общий делитель
разностей (80). Наконец,
равняется наибольшему
общему делителю
этих разностей, так
как спектр не изменяется при повороте на угол
, а это невозможно
при
.
Следующая
теорема устанавливает важное свойство примитивной матрицы:
Теорема 8. Матрица
является
примитивной в том и только в том случае, когда некоторая степень матрицы
положительна:
.
Доказательство. Если
, то матрица
неразложима,
так как из разложимости матрицы
следует разложимость
матрицы
. Далее, для матрицы
число
,
так как в противном случае положительная матрица
имела бы
характеристических чисел
с максимальным
модулем
,
что противоречит теореме Перрона.
Пусть
теперь, обратно, дано, что
— примитивная матрица. Воспользуемся для
степени
формулой
(24) главы V (стр. 113)
(82)
где
(
при
)
-
минимальный многочлен матрицы
,
, а
-приведенная
присоединенная матрица
. В данном случае можно положить:
,
(83)
Тогда
формула (82) примет вид
Отсюда
легко заключить в силу (83)
(84)
С
другой стороны,
[см. (53)] и
в силу (83).
Поэтому
,
и,
следовательно, начиная с некоторого
, имеет место неравенство (81).
Теорема
доказана.
Замечание. Если матрица
примитивна и
,
то
для всех
, так как матрица
не содержит
нулевых рядов.
Следствие. Степень примитивной матрицы всегда
неразложима и притом примитивна.
Для
наименьшего номера
, начиная с которого выполняется
неравенство (81), Фробениус указал верхнюю оценку, зависящую только от порядка
матрицы
:
.
Виландт
отметил (без доказательства), что на самом деле
, (85)
и
эта оценка точна. Она достигается на матрице
Приводимое
ниже доказательство неравенства (85) по существу совпадает с доказательством,
принадлежащим Седлачеку.
Лемма. Если
- примитивная
матрица, то для любых двух (не обязательно различных) индексов
,
существует такая
цепочка индексов
,
, что
О
такой цепочке будем говорить, что она ведет в матрице
из
в
. Число
назовем
длиной цепочки. Очевидно, в кратчайшей цепочке, ведущей из
в
,
все индексы попарно различны.
Для
доказательства леммы достаточно взять
так, чтобы было
Тогда
и
так как все слагаемые здесь неотрицательны, то по крайней море одно из них
положительно. Оно и дает требуемую цепочку индексов.
Перейдем
к доказательству неравенства (85).
Обозначим
через
наименьшую
из длин цепочек, ведущих в матрице
из
в
, и
положим
Пусть
для определенности
(86)
Тогда
в матрице
будут положительными
первые
диагональных элементов:
(87)
Возьмем
произвольный индекс
. Кратчайшая цепочка,
ведущая в матрице
из
в
какой-нибудь из индексов
,
имеет, очевидно, длину, не большую
.
В силу (86) эту цепочку можно продолжить за счет индексов
до цепочки с длиной ровно
. Получится некоторая
цепочка
где
.
Возьмем
еще один произвольный индекс
(но обязательно
отличный от
).
Так как матрица
,
согласно следствию теоремы 8, тоже примитивна, то найдется цепочка индексов
длины, не большой
, ведущая в матрице
из
в
.
В силу (87) эту цепочку можно продолжить за счет индекса
до цепочки с длиной ровно
. Получится
некоторая цепочка
Итак,
и
Отсюда
Следовательно,
Ввиду
произвольности индексов
оказывается
Тем
самым
Заметим
теперь, что
.
Действительно, в противном случае
и в силу определения числа
матрица
оказывается
циклической:
т.
е. импримитивной.
Таким
образом,
,
что и
требовалось доказать
Докажем
теперь следующую теорему:
Теорема 9. Если
— неразложимая матрица и некоторая
степень
этой
матрицы разложима, то степень
вполне разложима, т. е.
перестановкой рядов
может быть представлена в виде
(88)
где
- неразложимые
матрицы. Эти матрицы имеют одно и то же максимальное характеристическое число. При
этом число
есть
наибольший общий делитель чисел
и
, где
— индекс импримитивности матрицы
.
Доказательство. Поскольку
матрица
являются
неразложимой, то согласно теореме Фробениуса максимальному характеристическому
числу
отвечают
положительные собственные векторы матриц
и
. Но тогда эти же положительные векторы
являются собственными для неотрицательных матриц
и
при характеристическом число
. Поэтому,
применяя к степени
теорему 7’ мы представим (после
надлежащей перестановки рядов) эту степень в виде (88), где
- неразложимые матрицы с одним и
тем же максимальным характеристическим числом
. Но матрица
имеет
характеристических
чисел с максимальным модулем
:
Поэтому
и матрица
имеет
характеристических
чисел с максимальным модулем
,
среди которых
чисел равны
. Это возможно
лишь тогда, когда
— наибольший
общий делитель чисел
и
.
Теорема доказана.
Если в формулировке теоремы положить
, то получим
Следствие. Если
- импримитивная
матрица с индексом импримитивности
, то степень
разлагается на
примитивных матриц,
которые имеют одно и то оке максимальное характеристическое число.