§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы

Начнем с некоторой классификации неразложимых матриц.

Определение 3. Если неразложимая матрица  имеет всего  характеристических чисел  с максимальным модулем , то матрица  называется примитивной при  и импримитивной при . Число  называется индексом импримитивности матрицы .

Индекс импримитивности  сразу определяется, если известны коэффициенты характеристического уравнения

(; , ,…,)

матрицы, а именно число  равно наибольшему общему делителю разностей

                                     (80)

Действительно, согласно теореме Фробениуса спектр матрицы  в комплексной -плоскости переходит в себя при повороте па угол  вокруг точки . Поэтому многочлен  должен получиться из некоторого многочлена  по формуле

.

Отсюда следует, что  - общий делитель разностей (80). Наконец,  равняется наибольшему общему делителю  этих разностей, так как спектр не изменяется при повороте на угол , а это невозможно при .

Следующая теорема устанавливает важное   свойство примитивной матрицы:

Теорема 8. Матрица  является примитивной в том и только в том случае, когда некоторая степень матрицы  положительна:

 .

Доказательство. Если , то матрица  неразложима, так как из разложимости матрицы  следует разложимость матрицы . Далее, для матрицы  число , так как в противном случае положительная матрица  имела бы  характеристических чисел  с максимальным модулем , что противоречит теореме Перрона.

Пусть теперь, обратно, дано, что  — примитивная матрица. Воспользуемся для степени  формулой (24) главы V (стр. 113)

                     (82)

где

 ( при )

- минимальный многочлен матрицы ,  , а  -приведенная присоединенная матрица . В данном случае можно положить:

,                              (83)

Тогда формула (82) примет вид

Отсюда легко заключить в силу (83)

                                                 (84)

С другой стороны,  [см. (53)] и  в силу (83). Поэтому

,

и, следовательно, начиная с некоторого , имеет место неравенство (81).

Теорема доказана.

Замечание. Если матрица  примитивна и , то  для всех , так как матрица  не содержит нулевых рядов.

Следствие. Степень примитивной матрицы всегда неразложима и притом примитивна.

Для наименьшего номера , начиная с которого выполняется неравенство (81), Фробениус указал верхнюю оценку, зависящую только от порядка  матрицы :

.

Виландт отметил (без доказательства), что на самом деле

,                                                 (85)

и эта оценка точна. Она достигается на матрице

Приводимое ниже доказательство неравенства (85) по существу совпадает с доказательством, принадлежащим Седлачеку.

Лемма. Если  - примитивная матрица, то для любых двух (не обязательно различных) индексов ,  существует такая цепочка индексов ,  , что

О такой цепочке будем говорить, что она ведет в матрице  из  в . Число  назовем длиной цепочки. Очевидно, в кратчайшей цепочке, ведущей из  в , все индексы попарно различны.

Для доказательства леммы достаточно взять  так, чтобы было

Тогда

и так как все слагаемые здесь неотрицательны, то по крайней море одно из них положительно. Оно и дает требуемую цепочку индексов.

Перейдем к доказательству неравенства (85).

Обозначим через  наименьшую из длин цепочек, ведущих в матрице  из  в  , и положим

Пусть для определенности

                                  (86)

Тогда в матрице  будут положительными первые  диагональных элементов:

                                  (87)

Возьмем произвольный индекс . Кратчайшая цепочка, ведущая в матрице  из  в какой-нибудь из индексов , имеет, очевидно, длину, не большую . В силу (86) эту цепочку можно продолжить за счет индексов  до цепочки с длиной ровно . Получится некоторая цепочка

где .

Возьмем еще один произвольный индекс  (но обязательно отличный от ). Так как матрица , согласно следствию теоремы 8, тоже примитивна, то найдется цепочка индексов длины, не большой , ведущая в матрице  из  в . В силу (87) эту цепочку можно продолжить за счет индекса  до цепочки с длиной ровно . Получится некоторая цепочка

Итак,

и

Отсюда

Следовательно,

Ввиду произвольности индексов  оказывается

Тем самым

Заметим теперь, что . Действительно, в противном случае  и в силу определения числа  матрица  оказывается циклической:

т. е. импримитивной.

Таким образом,

,

что и требовалось доказать

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 9. Если  — неразложимая матрица и некоторая степень  этой матрицы разложима, то степень  вполне разложима, т. е. перестановкой рядов  может быть представлена в виде

                                           (88)

где  - неразложимые матрицы. Эти матрицы имеют одно и то же максимальное характеристическое число. При этом число  есть наибольший общий делитель чисел  и , где  — индекс импримитивности матрицы .

Доказательство. Поскольку матрица  являются неразложимой, то согласно теореме Фробениуса максимальному характеристическому числу  отвечают положительные собственные векторы матриц  и . Но тогда эти же положительные векторы являются собственными для неотрицательных матриц  и  при характеристическом число . Поэтому, применяя к степени  теорему 7’ мы представим (после надлежащей перестановки рядов) эту степень в виде (88), где  - неразложимые матрицы с одним и тем же максимальным характеристическим числом . Но матрица  имеет  характеристических чисел с максимальным модулем :

Поэтому и матрица  имеет  характеристических чисел с максимальным модулем

,

среди которых  чисел равны . Это возможно лишь тогда, когда  — наибольший общий делитель чисел  и . Теорема доказана.

Если в формулировке теоремы положить , то получим

Следствие. Если  - импримитивная матрица с индексом импримитивности , то степень  разлагается на  примитивных матриц, которые имеют одно и то оке максимальное характеристическое число.