§ 16. Связь с проблемой моментов

1. Сформулируем следующую проблему моментов из положительной полуоси :

Дана последовательность вещественных чисел . Требуется определить положительные числа

(117)

так, чтобы имели место равенства

. (118)

Нетрудно усмотреть, что система равенств (118) равносильна следующему разложению в ряд по отрицательным степеням :

(119)

В этом случае бесконечная ганкелева матрица имеет конечный ранг , и в силу неравенств (117) в несократимой правильной рациональной дроби

(120)

[старшие коэффициенты в и выбираем положительными] многочлены и образуют положительную пару [см. (91) и (91')].

Поэтому (см. теорему 14) сформулированная нами проблема моментов имеет решение в том и только в том случае, когда последовательность чисел при помощи равенств (119) и (120) определяет многочлен Гурвица степени .

Решение проблемы моментов единственно, поскольку из разложения (119) однозначно определяются положительные числа и .

Наряду с «бесконечной» проблемой моментов (118) рассмотрим и конечную проблему моментов, задаваемую первыми из уравнений (118):

. (121)

Из этих соотношении уже вытекают следующие выражения для ганкелевых квадратичных форм:

(122)

Поскольку линейные формы относительно переменных

независимы (коэффициенты этих форм образуют отличный от нуля определитель Вандермонда!) и , то квадратичные формы (122) являются положительно определенными. Тогда согласно теореме 17 числа являются параметрами Маркова некоторого многочлена Гурвица . Эти числа являются первыми коэффициентами разложения (119). Вместе с остальными коэффициентами они определяют бесконечную разрешимую проблему моментов (118), которая имеет то же решение, что и конечная проблема (121).

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 18. 1. Для того чтобы конечная проблема моментов

(123)

, где – заданные, a и – искомые вещественные числа , имела решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратичные формы

(124)

были положительно определенными, т. е. чтобы числа были параметрами Маркова некоторого многочлена Гурвица степени .

2. Для того чтобы бесконечная проблема моментов

(125)

, где – заданные, a и – искомые вещественные числа , имела решение, необходимо и достаточно, чтобы 1. квадратичные формы (124) были положительно определенными и 2. бесконечная ганкелева матрица имела ранг , т. е. чтобы ряд

(126)

определял многочлен Гурвица степени .

3. Решение проблемы моментов, как конечной (123), так и бесконечной (124), всегда единственно.

2. Доказанную теорему мы используем для исследования миноров бесконечной ганкелевой матрицы ранга , соответствующей некоторому многочлену Гурвица, т. е. матрицы , для которой квадратичные формы (124) являются положительно определенными. В этом случае порождающие матрицу числа могут быть представлены в виде (123), и потому для произвольного минора матрицы порядка имеем:

и, следовательно,

(127)

Но из неравенств

следует положительность обобщенных определителей Вандермонда

Поэтому, поскольку и числа , то из (127) вытекает

. (128)

Обратно, если в бесконечной ганкелевой матрице ранга все миноры любого порядка положительны, то квадратичные формы (127) являются положительно определенными.

Введем

Определение 4. Бесконечную матрицу будем называть вполне положительной ранга в том и только в том случае, когда все миноры матрицы порядка положительны, а все миноры, порядка равны нулю.

Теперь сформулируем установленные свойства матрицы .

Теорема 19. Для того чтобы бесконечная ганкелева матрица была вполне положительной ранга , необходимо и достаточно, чтобы 1) матрица имела ранг и 2) квадратичные формы

были положительно определенными.

Из этой теоремы и теоремы 17 следует

Теорема 20. Вещественный многочлен степени и является многочленом Гурвица в том и только в том случае, когда соответствующая этому многочлену бесконечная ганкелева матрица является вполне положительной ранга и в случае нечетного дополнительно .

При этом элементы матрицы и число определяются из разложения

, (129)

где