§ 16. Связь с проблемой моментов
1.
Сформулируем следующую проблему моментов из положительной полуоси 
:
Дана
последовательность вещественных чисел 
. Требуется определить положительные числа
(117)
так,
чтобы имели место равенства
. (118)
Нетрудно
усмотреть, что система равенств (118) равносильна следующему разложению в ряд
по отрицательным степеням 
:
(119)
В
этом случае бесконечная ганкелева матрица 
имеет конечный ранг 
, и в силу
неравенств (117) в несократимой правильной рациональной дроби
(120)
[старшие
коэффициенты в 
и
выбираем
положительными] многочлены и образуют положительную пару [см.
(91) и (91')].
Поэтому
(см. теорему 14) сформулированная нами проблема моментов имеет решение в том и
только в том случае, когда последовательность чисел 
при помощи равенств (119)
и (120) определяет многочлен Гурвица 
степени 
.
Решение
проблемы моментов единственно, поскольку из разложения (119) однозначно
определяются положительные числа 
и 
.
Наряду
с «бесконечной» проблемой моментов (118) рассмотрим и конечную проблему
моментов, задаваемую первыми из уравнений (118):
. (121)
Из
этих соотношении уже вытекают следующие выражения для ганкелевых квадратичных
форм:
(122)
Поскольку
линейные формы относительно переменных 
независимы
(коэффициенты этих форм образуют отличный от нуля определитель Вандермонда!) и 
, то квадратичные
формы (122) являются положительно определенными. Тогда согласно теореме 17
числа 
являются
параметрами Маркова некоторого многочлена Гурвица 
. Эти числа являются первыми коэффициентами
разложения (119). Вместе с остальными коэффициентами 
они определяют бесконечную
разрешимую проблему моментов (118), которая имеет то же решение, что и конечная
проблема (121).
Таким
образом, нами доказана следующая
Теорема
18. 1. Для того чтобы конечная проблема моментов
(123)
,
где 
–
заданные, a и
– искомые
вещественные числа 
, имела решение, необходимо и
достаточно, чтобы квадратичные формы
(124)
были
положительно определенными, т. е. чтобы числа были параметрами Маркова некоторого многочлена
Гурвица степени .
2.
Для того чтобы бесконечная проблема моментов
(125)
,
где – заданные,
a и – искомые
вещественные числа 
, имела решение, необходимо и
достаточно, чтобы 1. квадратичные формы (124) были положительно определенными и
2. бесконечная ганкелева матрица имела ранг , т. е. чтобы ряд
(126)
определял
многочлен Гурвица степени .
3.
Решение проблемы моментов, как конечной (123), так и бесконечной (124), всегда
единственно.
2.
Доказанную теорему мы используем для исследования миноров бесконечной
ганкелевой матрицы ранга , соответствующей некоторому
многочлену Гурвица, т. е. матрицы , для которой квадратичные формы
(124) являются положительно определенными. В этом случае порождающие матрицу 
числа могут быть
представлены в виде (123), и потому для произвольного минора матрицы порядка 
имеем:
и,
следовательно,
(127)
Но
из неравенств
следует
положительность обобщенных определителей Вандермонда
Поэтому,
поскольку и числа 
, то из (127) вытекает
. (128)
Обратно,
если в бесконечной ганкелевой матрице ранга все миноры любого порядка положительны, то
квадратичные формы (127) являются положительно определенными.
Введем
Определение
4. Бесконечную матрицу 
будем называть вполне положительной
ранга в
том и только в том случае, когда все миноры матрицы 
порядка положительны, а
все миноры, порядка 
равны нулю.
Теперь
сформулируем установленные свойства матрицы .
Теорема
19. Для того чтобы бесконечная ганкелева матрица была вполне положительной ранга , необходимо и
достаточно, чтобы 1) матрица имела ранг и 2) квадратичные формы
были
положительно определенными.
Из
этой теоремы и теоремы 17 следует
Теорема
20. Вещественный многочлен степени и является многочленом
Гурвица в том и только в том случае, когда соответствующая этому многочлену
бесконечная ганкелева матрица является вполне положительной ранга 
и в случае 
нечетного дополнительно
.
При
этом элементы матрицы
и число
определяются
из разложения
, (129)
где
.
