ГЛАВА XV. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАТРИЦ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия
Пусть дана система линейных однородных
дифференциальных уравнений первого порядка:
(1)
где
- комплексные
функции вещественного аргумента
, непрерывные в некотором (конечном
или бесконечном) интервале изменения
.
Полагая
и
, мы систему (1)
запишем так:
(2)
Интегральной матрицей
системы (4) мы будем называть квадратную матрицу
, столбцами
которой являются
линейно
независимых решений системы.
Так как каждый столбец матрицы
удовлетворяет уравнению
(2), то и интегральная матрица
удовлетворяет уравнению
(3)
В дальнейшем мы вместо системы (1) будем
рассматривать Матричное уравнение (3).
Из теоремы о существовании и единственности решения
системы линейных дифференциальных уравнений следует, что интегральная матрица
однозначно
определяется, если задано значение этой матрицы при некотором («начальном»)
значении
,
. В качестве
матрицы
можно
взять любую неособенную квадратную матрицу
-го порядка. В частном случае, когда
, интегральную
матрицу
будем
называть нормированной.
Продифференцируем определитель матрицы
, дифференцируя
последовательно строки определителя и используя при этом дифференциальные
соотношения
.
Тогда получим:
.
Отсюда следует известное тождество
Якоби
(4)
где
- постоянная, а
- след матрицы
.
Так как определитель
не может тождественно равняться
нулю, то
. Но тогда из
тождества Якоби следует, что определитель
при любом значении аргумента отличен
от нуля
,
т. е. интегральная
матрица при любом значении аргумента является неособенной.
Если
- неособенное
частное решение уравнения
(3), то общее решение этого уравнения определяется формулой
, (5)
где
- произвольная постоянная матрица.
Действительно, умножая обе части равенства
(6)
справа на
, убеждаемся, что и матрица
удовлетворяет уравнению
(3). С другой стороны, если
- произвольное решение уравнения
(3), то из (6) следует:
,
откуда в силу (3)
и
,
т. е. имеет место (5).
Все интегральные матрицы
системы (1) получаются по
формуле (5) при
.
Рассмотрим частный случай:
, (7)
где
- постоянная
матрица. При этом
есть частное
неособенное решение уравнения (7) и потому общее решение этого уравнения имеет
вид
, (8)
где
- произвольная постоянная матрица.
Полагая в (8)
найдем:
.
Отсюда
и
потому формулу (8) можно представить в виде
(9)
Эта формула эквивалентна выведенной
ранее формуле (46) главы V (стр. 125).
Рассмотрим еще так называемую систему
Коши:
(
- постоянная
матрица) (10)
Этот случай сводится к предыдущему
заменой аргумента:
.
Поэтому общее решение системы (10)
выглядит так:
(11)
Функции
и
,
встречающиеся в формулах (8) и (11), могут быть представлены в виде (стр. 125)
(12)
(13)
Здесь
(
при
;
)
- минимальный многочлен матрицы
,
а
- линейно
независимые постоянные матрицы, являющиеся многочленами от
.
Замечание. Иногда в
качестве интегральной матрицы системы дифференциальных уравнений (1) берут
матрицу
,
у которой строки являются линейно
независимыми решениями системы. Очевидно, матрица
будет транспонированной матрицей для
:
.
Переходя в обеих частях равенства (3) к
транспонированным матрицам, мы вместо (3) получим следующее уравнение для
:
(3')
В правой части этого уравнения матрица
стоит первым
множителем, а не вторым, как
в уравнении (3).