§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве
Рассмотрим
-мерное
евклидово пространство
. Пусть дан произвольный линейный
оператор
в
.
Определение
10. Линейный оператор
называется транспонированным
оператором для оператора
, если для любых векторов
и
из
:
. (106)
Существование
и единственность транспонированного оператора устанавливаются совершенно
аналогично тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора в унитарном
пространстве.
Транспонированный
оператор обладает следующими свойствами:
1.
,
2.
,
3.
(
– вещественное
число),
4.
.
Введем
ряд определений.
Определение
11. Линейный оператор
называется нормальным, если
.
Определение
12. Линейный оператор
называется симметрическим, если
.
Определение
13. Симметрический оператор
называется неотрицательным, если для
любого вектора
из
.
Определение
14. Симметрический оператор
называется положительно определенным,
если для любого вектора
из
.
Определение
15. Линейный оператор
называется кососимметрическим, если
.
Произвольный
линейный оператор
всегда представим, и притом
однозначно, в виде
, (107)
где
– симметрический,
а
–
кососимметрический оператор.
Действительно,
из (107) следует
. (108)
Из
(107) и (108) вытекает
. (109)
Обратно,
формулы (109) всегда определяют симметрический оператор
и кососимметрический
, для которых имеет
место равенство (107).
и
носят
название симметрической и кососимметрической компонент оператора
.
Определение
16. Оператор
называется
ортогональным, если он сохраняет метрику пространства, т. е. если для любых
векторов
из
. (110)
Равенство
(110) в силу (106) можно переписать так:
. Отсюда следует:
. (111)
Обратно,
из (111) вытекает (110) (при произвольных векторах
). Из (111) следует:
, т. е.
.
Мы
будем ортогональный оператор
называть оператором первого рода,
если
, и
второго рода, если
.
Симметрический,
кососимметрический, ортогональный операторы суть частные виды нормального
оператора.
Рассмотрим
произвольный ортонормированный базис в данном евклидовом пространстве. Пусть
линейному оператору
в этом базисе соответствует матрица
(здесь все
– вещественные
числа). Читатель без труда покажет, что транспонированному оператору
отвечает в этом же
базисе транспонированная матрица
, где
. Отсюда вытекает, что в
ортонормированном базисе нормальному оператору
отвечает нормальная матрица
, симметрическому
оператору
отвечает
симметрическая матрица
, кососимметрическому оператору
– кососимметрическая
матрица
и, наконец,
ортогональному оператору
– ортогональная матрица
.
Аналогично
тому, как это делалось в § 8 для сопряженного оператора, здесь устанавливается
следующее предложение:
Если
некоторое подпространство
в
инвариантно относительно линейного
оператора
,
то ортогональное дополнение
к
в
инвариантно относительно оператора
.
Для
исследования линейных операторов в евклидовом пространстве
мы расширим евклидово
пространство
до
некоторого унитарного пространства
. Это расширение проведем следующим
образом:
1.
Векторы из
будем
называть вещественными векторами.
2.
Введем в рассмотрение «комплексные» векторы
, где
и
– вещественные векторы, т. е.
.
3.
Естественным образом определяются операции сложения комплексных векторов и
умножения на комплексное число. Тогда совокупность всех комплексных векторов
образует
-мерное
векторное пространство
над полем комплексных чисел,
содержащее в себе как часть
.
4.
В
вводится
эрмитова метрика так, чтобы в
она совпадала с имеющейся там
евклидовой метрикой. Читатель легко проверит, что искомая эрмитова метрика
задается следующим образом:
Если
и
, то
.
Полагая
при этом
и
, будем
иметь:
.
Если
выбрать вещественный базис, т. е. базис в
, то
будет представлять собой совокупность
всех векторов с комплексными, а
– с вещественными координатами в этом
базисе.
Всякий
линейный оператор
в
однозначно расширяется до линейного
оператора в
:
.
Среди
всех линейных операторов в
операторы, получившиеся в результате
такого расширения из операторов в
, характеризуются тем, что переводят
в
. Такие операторы
будем называть вещественными.
В
вещественном базисе вещественные операторы определяются вещественными
матрицами, т. е. матрицами с вещественными элементами.
Вещественный
оператор
переводит
комплексно сопряженные векторы
и
снова в комплексно сопряженные
.
У
вещественного оператора вековое уравнение имеет вещественные коэффициенты,
поэтому умеете с корнем
-й кратности
оно имеет и корень
-й кратности
. Из
следует:
, т. е. сопряженным
характеристическим числам соответствуют сопряженные собственные векторы.
Двумерное
подпространство
имеет
вещественный базис:
. Плоскость в
с этим базисом будем
называть инвариантной плоскостью оператора
, отвечающей паре характеристических
чисел
.
Пусть
.
Тогда,
как легко видеть,
Рассмотрим
вещественный оператор
простой структуры с характеристическими
числами:
,
где
–
вещественные числа, причем
.
Тогда
соответствующие этим характеристическим числам собственные векторы
можно выбирать
так, чтобы
;. (112)
.
Векторы
(113)
образуют
базис в евклидовом пространстве
. При этом
(114)
В
базисе (113) оператору
соответствует вещественная
квазидиагональная матрица
. (115)
Таким
образом, для каждого оператора
простой структуры в евклидовом пространстве
существует такой базис, в котором оператору
соответствует матрица вида (115).
Отсюда следует, что всякая вещественная матрица простой структуры
вещественно-подобна канонической матрице вида (115):
. (116)
Транспонированный
оператор
для
в
после расширения
становится сопряженным оператором
для
в
. Следовательно, нормальный,
симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы в
после расширения
становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на
эрмитовым, унитарным
вещественным операторами в
.
Нетрудно
показать, что для нормального оператора
в евклидовом пространстве можно
выбрать канонический базис – ортонормированный базис (113), для которого имеют
место равенства (114). Поэтому вещественная нормальная матрица всегда
вещественно- и ортогонально-подобна матрице вида (115):
(117)
У
симметрического оператора
в евклидовом пространстве все
характеристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор
становится эрмитовым. Для симметрического оператора
в формулах (114) следует
положить
.
Тогда получим:
. (118)
Симметрический
оператор
в
евклидовом пространстве всегда имеет ортонормированную систему собственных
векторов с вещественными характеристическими числами. Поэтому вещественная
симметрическая матрица всегда вещественно- и ортогонально-подобна диагональной
матрице
. (119)
У
кососимметрического оператора
в евклидовом пространстве все
характеристические числа чисто мнимы (после расширения этот оператор равен
произведению
на
эрмитов оператор). Для кососимметрического оператора в формулах (114) следует
положить:
,
после
чего эти формулы принимают вид
(120)
Поскольку
является
нормальным оператором, базис (113) можно считать ортонормированным. Таким
образом, всякая вещественная кососимметрическая матрица вещественно- и
ортогонально-подобна канонической кососимметрической матрице:
. (124)
У
ортогонального оператора
в евклидовом пространстве все
характеристические числа по модулю равны единице (после расширения такой
оператор становится унитарным). Поэтому в случае ортогонального оператора в
формулах (114) следует положить:
.
При
этом базис (113) можно считать ортонормированным. Формулы (114) можно
представить в виде
(122)
Из
сказанного следует, что всякая вещественная ортогональная матрица вещественно-
и ортогонально-подобна канонической ортогональной:
(123)
.
Пример.
Рассмотрим произвольное конечное вращение вокруг точки
в трехмерном евклидовом
пространстве. Оно переводит направленный отрезок
в направленный отрезок
и потому может
быть рассматриваемо как оператор
в трехмерном векторном пространстве
(образованном всевозможными отрезками
). Этот оператор линейный и притом
ортогональный. Определитель этого оператора равен единице, так как оператор
не изменяет
ориентации в пространстве.
Итак,
– ортогональный
оператор первого рода. Для него формулы (122) будут выглядеть так:
Из
равенства
следует,
что
. Это
означает, что все точки прямой, проходящей через точку
в направлении вектора
, неподвижны. Таким
образом, мы видим, что имеет место утверждение:
Произвольное
конечное вращение твердого тело вокруг неподвижной точки может быть
осуществлено конечным поворотом на угол
вокруг некоторой неподвижной оси,
проходящей черев эту точку.
Рассмотрим
теперь произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве,
переводящее точку
в точку
(*)
Движение
складывается из поворота
вокруг некоторой оси, проходящей
через начало координат, и параллельного сдвига на вектор
. Обозначим через
собственные
векторы
,
соответствующие характеристическим числам
(при этом
):
.
Докажем
существование такой точки
, перемещение которой
параллельно
вектору
(т.
е. параллельно оси конечного поворота
). Для этого положим
и
найдем, что
.
Поэтому,
определив координаты
и
искомой точки
из равенств
,
получим
для перемещения точки
требуемую формулу
.
Складывая
почленно это равенство с вытекающим из (*) равенством
,
получим
. (**)
Эта
формула показывает, что при рассматриваемом конечном движении радиус-вектор
точки, проведенный из
, поворачивается вокруг некоторой оси
на фиксированный угол; затем к нему прибавляется параллельный оси вектор
. Другими словами,
движение представляет собой винтовой сдвиг вокруг оси, проходящей через точку
параллельно
вектору
.
Нами доказана теорема Эйлер – Даламбера:
Произвольное
конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой
винтовое перемещение вокруг некоторой неподвижной оси.