§ 3. Алгоритм Рауса
1. Задача Рауса состоит в определении числа
корней
вещественного многочлена
, расположенных в правой
полуплоскости
.
Рассмотрим сначала случай, когда
не имеет
нулей на мнимой оси. В правой полуплоскости построим
полуокружность радиуса
с
центром в нуле и рассмотрим область, ограниченную этой полуокружностью и
отрезком мнимой оси (рис. 9). При достаточно большом
все
нулей
многочлена
с
положительными вещественными частями будут находиться внутри этой области.
Поэтому
при
положительном обходе контура области получит приращение
. С другой стороны,
приращение
вдоль
полуокружности радиуса
при
определяется
приращением аргумента старшего члена
и потому равно
.
Поэтому для приращения
вдоль мнимой оси
получаем
выражение
(8)
Рис. 9.
Введем не совсем обычные обозначения для коэффициентов
многочлена
,
пусть
.
Тогда, замечая, что приращение
в формуле (8) не изменится,
если многочлен
помножить
на произвольное комплексное число, положим:
(9)
где
(10)
Следуя Раусу, воспользуемся индексом Коши. Из формул
(4) и (9) находим:
Поэтому из формулы (8) следует, что
(11)
2. Для определения индекса, стоящего в левой части
равенства (11), используем теорему Штурма (см. предыдущий параграф). Исходя из
функций
и
, определяемых
равенствами (10), построим, следуя Раусу, при помощи алгоритма Евклида
обобщенный ряд Штурма (см. стр. 471)
(12)
Рассмотрим теперь регулярный
случай:
.
В этом случае в ряду (12) степень каждой функции на единицу меньше степени
предыдущей, и последняя функция
имеет нулевую степень.
Из алгоритма Евклида [см. (7)] следует, что
где

, 
,… (13)
Точно так же
где

, 
(13')
Аналогично определяются коэффициенты остальных
многочленов
.
При этом каждый из многочленов
(14)
является четной или нечетной функцией, причем
степени смежных многочленов всегда имеют разную четность.
Составим схему Рауса:
(15)
В этой схеме, как показывают формулы (13), (13'),
каждая строка определяется из двух предыдущих по следующему правилу:
Из чисел верхней
строки вычитаются соответствуйте числа нижней, предварительно помноженные на
такое число, чтобы первая разность обращалась в нуль. Отбрасывая эту нулевую
разность, получаем искомую строку.
Регулярный случай, очевидно, характеризуется тем,
что при последовательном применении этого правила мы в ряду
не встречаем числа, равного нулю, и этот ряд состоит
из
чисел.
Рис.
10. Рис. 11.
На рис. 10 и 11 показан скелет регулярной схемы
Рауса при
четном
и
нечетном
. Здесь элементы
схемы отмечены точками.
В регулярном случае многочлены
и
имеют
наибольший общий делитель
. Поэтому эти многочлены не обращаются
одновременно в нуль, т. е.
при
вещественном. Поэтому
в регулярном случае имеет место формула (11).
Применяя к левой части этой формулы теорему Штурма в
интервале
и
используя при этом ряд (14), получаем согласно (11):
(16)
В данном случае
а
Отсюда
(17)
Из равенств (16) и (17) находим:
(18)
Нами доказана для
регулярного случая.
Теорема
2 (Рауса).
Число корней вещественного многочлена
, лежащих в правой
полуплоскости
, равно числу
перемен знака в первом столбце схемы Рауса.
3. Рассмотрим важный частный случай, когда все корни
имеют
отрицательные вещественные части («случай устойчивости»). В этом случае
многочлен
не
имеет чисто мнимых корней, и потому имеет место формула (11), а следовательно,
и формула (16). Поскольку
,
формула (16) перепишется так:
(19)
Но
и
. Поэтому равенство
(19) возможно лишь тогда, когда
(регулярный
случай!) и
,
.
Тогда из формулы (18) следует:
Критерий
Рауса. Для того чтобы все корни вещественного многочлена
имели
отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при выполнении
алгоритма Рауса все элементы первого столбца схемы Рауса получались отличными
от нуля
и одного знака.
4.
При установлении теоремы Рауса мы опирались на формулу (11). В дальнейшем нам
понадобится обобщение этой формулы. Формула (11) была выведена в предположении,
что многочлен
не имеет корней
на мнимой оси. Мы покажем, что в общем случае, когда многочлен
имеет
корней в правой
полуплоскости и
корней на мнимой оси, формула (11)
заменяется формулой
(20)
В самом деле,
,
где вещественный многочлен
имеет
корней на мнимой
оси, а многочлен
степени
таких корней не
имеет. Пусть
,
.
Тогда
.
Поскольку
- вещественный
многочлен относительно
, то
.
К многочлену
применима
формула (11). Поэтому
что и требовалось доказать.