Глава V. Функции от матрицы

§ 1. Определение функции от матрицы

Пусть даны квадратная матрица  и функция  скалярного аргумента. Требуется определить, что следует понимать под , т. е. требуется распространить функцию  и на матричные значения аргумента.

Решение этой задачи нам известно для простейшего случая, когда  — многочлен относительно . В этом случае . Исходя из этого частного случая, постараемся определить  в общем случае.

Обозначим через

   (1)

минимальный многочлен матрицы  (здесь  - все различные характеристические числа матрицы ). Степень этого многочлена .

Пусть два многочлена  и  таковы, что

.                                    (2)

Тогда разность , будучи аннулирующим многочленом для матрицы , делится на  без остатка, что запишем так:

    .           (3)

Отсюда в силу (1)

,   ,

т. е.

 .   (4)

  чисел

      (5)

будем условно называть значениями функции  на спектре матрицы  и совокупность этих значений символически обозначать через . Если для функции  существуют (т. е. имеют смысл) значения (5), то мы будем говорить, что функция  определена на спектре матрицы .

Равенства (4) показывают, что многочлены  и  имеют одни и те же значения на спектре матрицы . В символической записи

.

Рассуждения наши обратимы: из (4) вытекают (3) и, следовательно, (2).

Таким образом, если задана матрица , то значения многочлена  на спектре матрицы  вполне определяют матрицу , т. е. все многочлены , принимающие одни и те же значения на спектре матрицы , имеют одно и то же матричное значение .

Мы потребуем, чтобы определение  в общем случае подчинялось такому же принципу: значения функции  на спектре матрицы  должны полностью определять , т. е. все функции , имеющие одни и те же значения на спектре матрицы , должны иметь одно и то же матричное значение .

Но тогда, очевидно, для определения  в общем случае достаточно подыскать такой многочлен , который принимал бы те же значения на спектре матрицы , что и , и положить:

.

Таким образом, приходим к следующему определению:

Определение 1'. Если функция  определена на спектре матрицы , то

,

где  – любой многочлен, принимающий на спектре матрицы  те же значения, что и :

.

Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и , имеется один и только один многочлен  степени . Этот многочлен  однозначно определяется интерполяционными условиями:

, , …,  .             (6)

Многочлен  называют интерполяционным многочленом Лагранжа–Сильвестра для функции  на спектре матрицы . Определение 1 можно еще сформулировать так:

Определение 1'. Пусть  – функция, определенная на спектре матрицы , а  – соответствующий интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра. Тогда

.

Замечание. Если минимальный многочлен  матрицы  не имеет кратных корней [в равенстве (1) ; ], то для того, чтобы  имело смысл, достаточно, чтобы функция  была определена в характеристических точках . Если же  имеет кратные корни, то в некоторых характеристических точках должны быть определены и производные от  до известного порядка [см. (6)].

Пример 1. Рассмотрим матрицу

.

Для нее минимальным многочленом будет . Поэтому значениями  на спектре  будут числа , и многочлен  будет иметь вид

.

Таким образом,

.

Пример 2. Рассмотрим матрицу

.

Заметом, что  и, следовательно, . Минимальным многочленом для , очевидно, будет . Интерполяционный многочлен  для функции  определится равенством

.

Поэтому

.

Отметим три свойства функции от матрицы.

1. Если  – характеристические числа матрицы -го порядка , то  – полная система характеристических чисел матрицы .

В частном случае, когда  – многочлен, это предложение было доказано на стр. 94. Доказательство для общего случая сводится к этому частному случаю, поскольку (в силу определения 1')  и  , где  – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции .

2. Если две матрицы  и  подобны и матрица  преобразует  в :

,

то матрицы  и  подобны и та же матрица  преобразует  в

.

Действительно, две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и, следовательно, функция  принимает одни и те же значения как на спектре матрицы , так и на спектре матрицы . Поэтому существует интерполяционный многочлен  такой, что , . Но тогда из равенства  следует:

.

3. Если  – квазидиагональная матрица

,

то

.

Обозначим через  интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции  на спектре матрицы . Тогда, как легко видеть,

.               (7)

С другой стороны, минимальный многочлен  для  является аннулирующим многочленом для каждой из матриц . Поэтому из равенства

следует:

.

Поэтому

,

и равенство (7) можно записать так:

.             (8)

Пример 1. Если матрица простой структуры

,

то

.

 имеет смысл, если функция  определена в точках .

Пример 2. Матрица  имеет следующий квазидиагональный вид:

.

В недиагональных блоках все элементы равны нулю. Согласно формуле (8) (см. также пример на стр. 105)

.

Здесь, как и в матрице , все элементы в недиагональных блоках равны нулю.