Глава V. Функции от матрицы
§ 1. Определение функции от матрицы
Пусть даны
квадратная матрица 
и функция 
скалярного аргумента
. Требуется
определить, что следует понимать под 
, т. е. требуется распространить
функцию и
на матричные значения аргумента.
Решение этой
задачи нам известно для простейшего случая, когда 
— многочлен относительно . В этом случае 
. Исходя из этого
частного случая, постараемся определить в общем случае.
Обозначим через
(1)
минимальный
многочлен матрицы 
(здесь 
- все различные характеристические
числа матрицы ).
Степень этого многочлена 
.
Пусть два
многочлена 
и
таковы,
что
. (2)
Тогда разность 
, будучи
аннулирующим многочленом для матрицы , делится на 
без остатка, что запишем
так:
. (3)
Отсюда в силу
(1)
, 
,
т. е.
. (4)
чисел
(5)
будем
условно называть значениями функции на спектре матрицы и совокупность
этих значений символически обозначать через 
. Если для функции существуют (т. е. имеют
смысл) значения (5), то мы будем говорить, что функция определена на спектре
матрицы .
Равенства
(4) показывают, что многочлены и имеют одни и те же значения на
спектре матрицы .
В символической записи
.
Рассуждения
наши обратимы: из (4) вытекают (3) и, следовательно, (2).
Таким
образом, если задана матрица , то значения многочлена на спектре матрицы
вполне
определяют матрицу 
, т. е. все многочлены , принимающие одни
и те же значения на спектре матрицы , имеют одно и то же матричное
значение .
Мы
потребуем, чтобы определение в общем случае подчинялось такому же
принципу: значения функции на спектре матрицы должны полностью
определять ,
т. е. все функции , имеющие одни и те же значения на
спектре матрицы ,
должны иметь одно и то же матричное значение .
Но
тогда, очевидно, для определения в общем случае достаточно подыскать
такой многочлен ,
который принимал бы те же значения на спектре матрицы , что и , и положить:
.
Таким
образом, приходим к следующему определению:
Определение
1'. Если функция определена
на спектре матрицы , то
,
где
– любой
многочлен, принимающий на спектре матрицы те же значения, что и :
.
Среди
всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на
спектре, что и ,
имеется один и только один многочлен 
степени 
. Этот многочлен однозначно определяется
интерполяционными условиями:
,
, …, 
. (6)
Многочлен
называют
интерполяционным многочленом Лагранжа–Сильвестра для функции на спектре матрицы
.
Определение 1 можно еще сформулировать так:
Определение
1'. Пусть –
функция, определенная на спектре матрицы , а – соответствующий интерполяционный
многочлен Лагранжа–Сильвестра. Тогда
.
Замечание.
Если минимальный многочлен матрицы не имеет кратных корней [в равенстве (1)
; 
], то для того,
чтобы имело
смысл, достаточно, чтобы функция была определена в характеристических
точках 
.
Если же имеет
кратные корни, то в некоторых характеристических точках должны быть определены
и производные от до
известного порядка [см. (6)].
Пример
1. Рассмотрим матрицу
.
Для
нее минимальным многочленом будет 
. Поэтому значениями на спектре 
будут числа 
, и многочлен будет иметь вид
.
Таким
образом,
.
Пример
2. Рассмотрим матрицу
.
Заметом,
что 
и,
следовательно, 
.
Минимальным многочленом для 
, очевидно, будет 
. Интерполяционный многочлен
для
функции определится
равенством
.
Поэтому
.
Отметим
три свойства функции от матрицы.
1.
Если 
– характеристические
числа матрицы 
-го
порядка ,
то 
– полная
система характеристических чисел матрицы .
В
частном случае, когда – многочлен, это предложение было
доказано на стр. 94. Доказательство для общего случая сводится к этому частному
случаю, поскольку (в силу определения 1') и 
, где – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
для функции .
2.
Если две матрицы и
подобны
и матрица 
преобразует
в :
,
то
матрицы и
подобны
и та же матрица преобразует
в
.
Действительно,
две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и, следовательно,
функция принимает
одни и те же значения как на спектре матрицы , так и на спектре матрицы . Поэтому
существует интерполяционный многочлен такой, что , 
. Но тогда из равенства 
следует:
.
3.
Если –
квазидиагональная матрица
,
то
.
Обозначим
через интерполяционный
многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции на спектре матрицы . Тогда, как легко
видеть,
. (7)
С
другой стороны, минимальный многочлен для является аннулирующим многочленом для
каждой из матриц 
.
Поэтому из равенства
следует:
.
Поэтому
,
и
равенство (7) можно записать так:
. (8)
Пример
1. Если матрица простой структуры
,
то
.
имеет
смысл, если функция определена в точках .
Пример
2. Матрица имеет
следующий квазидиагональный вид:
.
В
недиагональных блоках все элементы равны нулю. Согласно формуле (8) (см. также
пример на стр. 105)
.
Здесь,
как и в матрице ,
все элементы в недиагональных блоках равны нулю.
