§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц

Начнем с леммы.

Лемма 1. 1. Если матрица одновременно является и эрмитовой и ортогональной (), то она представима в виде

, (1)

где - вещественная симметрическая инволютивная матрица, а - перестановочная с нею вещественная кососимметрическая матрица:

, , . (2)

2. Если дополнительно является положительно определенной эрмитовой матрицей, то в формуле (1) и

(3)

Доказательство. 1. Пусть

, (4)

где и — вещественные матрицы. Тогда

и . (5)

Поэтому равенство влечет: , , т.е – симметрическая, а – кососимметрическая матрица.

Далее, комплексное равенство после подстановки в него выражений для и из (4) и (5) распадается па два вещественных равенства:

, (6)

Второе из этих равенств показывает, что и коммутируют.

Согласно теореме 12' главы IX коммутирующие нормальные матрицы и можно одним и тем же вещественным ортогональным преобразованием привести к квазидиагональной канонической форме. Поэтому

() (7)

(числа и вещественны). Отсюда

(8)

С другой стороны, подставляя выражения (7) для и в первое из равенств (6), найдем:

, (9)

Теперь нетрудно проверить, что матрица типа при всегда представима в виде

где

, , .

Поэтому в силу (8) и (9) имеем:

(10)

т. е.

где

(11)

Из (11) вытекают равенства (2).

2. Если дополнительно известно, что — положительно определенная эрмитова матрица, то можно утверждать, что все характеристические числа матрицы положительны (гл. IX). Но в силу формулы (10) этими характеристическими числами являются числа

[здесь знаки соответствуют знакам в формуле (10)].

Поэтому в формуле (10) и в последующей формуле (11) всюду, где стоит , сохраняется знак . Следовательно

что и требовалось доказать.

Лемма доказана полностью.

С помощью леммы мы докажем следующую теорему:

Теорема 1. Комплексная ортогональная матрица всегда представима в виде

, (12)

где — вещественная ортогональная, а - вещественная кососимметрическая матрица

, (13)

Доказательство. Допустим, что формула (12) имеет место. Тогда

Теперь в силу предыдущей леммы искомую вещественную кососимметрическую матрицу можно определить из равенства

(14)

поскольку матрица - положительно определенная эрмитова и ортогональная матрица. После того как матрица определена из (14), мы находим из (12).

(15)

Тогда

т. е. - унитарная матрица. С другой стороны, из (15) следует, что матрица как произведение двух ортогональных матриц сама ортогональна: . Таким образом, является одновременно унитарной и ортогональной и, следовательно, вещественной ортогональной. Формулу (15) можно записать в виде (12).

Теорема доказана.

Установим теперь следующую лемму:

Лемма 2. Если матрица является одновременно симметрической и унитарной (), то она всегда представима в виде

(16)

где — вещественная симметрическая матрица ().

Доказательство. Положим

(, ). (17)

Тогда

, .

Комплексное равенство распадается на два вещественных:

, .

Таким образом, и — вещественные симметрические матрицы.

Равенство влечет:

, (18)

Согласно второму из этих равенств матрицы и коммутируют. Применяя к ним теорему 12' (вместе с примечанием) главы IX , получим:

, (19)

Здесь , а и - вещественные числа. Теперь первое из равенств (18) дает:

Поэтому существуют такие вещественные числа , что

, , .

Подставляя эти выражения для и в (19) и пользуясь (17), найдем:

где

(20)

Из (20) следует: .

Лемма доказана.

Пользуясь этой леммой, докажем следующую теорему:

Теорема 2. Унитарная матрица всегда представима в виде

(21)

где — вещественная ортогональная, a - вещественная симметрическая матрица:

, (22)

Доказательство. Из формулы (21) следует

(23)

Перемножая почленно (21) и (23), получим в силу (22):

Согласно лемме 2 вещественную симметрическую матрицу можно определить из уравнения

(24)

поскольку матрица является симметрической унитарной. После того как матрица определена, мы определим матрицу равенством

(25)

Тогда

, (26)

и потому из (24), (25) и (26) вытекает

т. е. - ортогональная матрица.

С другой стороны, согласно (25) есть произведение двух унитарных матриц и, следовательно, — унитарная матрица. Поскольку одновременно является ортогональной и унитарной, - вещественная матрица. Формулу (25) можно переписать в виде (21). Теорема доказана.