§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц

Пусть дан произвольный сингулярный пучок матриц размеров . Допустим сначала, что как между столбцами, так и между строками этого пучка нет линейной зависимости с постоянными коэффициентами.

Пусть , где — ранг пучка, т. е. столбцы пучка линейно зависимы между собой. В этом случае уравнение имеет ненулевое решение минимальной степени . Из принятого в начале этого параграфа ограничения следует, что . Поэтому согласно теореме 4 данный пучок можно преобразовать к виду

где уравнение не имеет решений степени .

Если это уравнение имеет ненулевое решение минимальной степени (при этом непременно ), то, применяя к пучку теорему 4, мы данный пучок преобразуем к виду

Продолжая этот процесс далее, мы приведем данный пучок к квазидиагональному виду

(25)

где , а уравнение не имеет ненулевых решений, т. е. столбцы матрицы линейно независимы.

Если строки пучка линейно зависимы, то транспонированный пучок может быть приведен к виду (25), где вместо чисел будут фигурировать числа . Но тогда данный пучок окажется преобразованным к квазидиагональному виду

(26)

(,),

где у пучка как столбцы, так и строки линейно независимы, т. е. - регулярный пучок.

Рассмотрим теперь общий случай, когда строки и столбцы данного пучка могут быть связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами. Обозначим максимальное число постоянных независимых решений уравнений

соответственно через и . Вместо первого из этих уравнений, подобно тому как мы это делали при доказательстве теоремы 4, рассмотрим соответствующее векторное уравнение ( и - операторы, отображающие в ). Линейно независимые постоянные решения этого уравнения обозначим через и примем за первые базисные векторы в . Тогда в соответствующей матрице первые столбцов будут состоять из нулей

(27)

Совершенно так же в пучке первые строк можно сделать нулевыми. Тогда данный пучок примет вид

(28)

где строки и столбцы пучка уже не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами. К пучку применимо представление типа (26). Таким образом, в самом общем случае пучок всегда может быть приведен к каноническому квазидиагональному виду

(29)

Выбор индексов при и связан с тем, что нам удобно здесь считать и .

Заменяя фигурирующий в (29) регулярный пучок его канонической формой (6) (см. § 2, стр. 334), получим окончательно следующую квазидиагональную матрицу

(30)

где матрица имеет жорданову или естественную нормальную форму, а .

Матрица (30) представляет собой каноническую форму пучка в самом общем случае.

Для того чтобы по данному пучку непосредственно определить его каноническую форму (30), не осуществляя последовательно процесс приведения, мы, следуя Кронекеру, в следующем параграфе введем понятие о минимальных индексах пучка.