§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц
Пусть дан произвольный сингулярный пучок
матриц 
размеров
.
Допустим сначала, что как между столбцами, так и между строками этого пучка нет
линейной зависимости с постоянными коэффициентами.
Пусть 
, где 
— ранг пучка, т. е.
столбцы пучка
линейно зависимы между
собой. В этом случае уравнение
имеет ненулевое решение
минимальной степени
. Из принятого в
начале этого параграфа ограничения следует, что 
.
Поэтому согласно теореме 4 данный пучок можно преобразовать к виду
где
уравнение 
не
имеет решений 
степени
.
Если
это уравнение имеет ненулевое решение минимальной степени 
(при этом непременно 
), то, применяя к
пучку 
теорему
4, мы данный пучок преобразуем к виду
Продолжая этот процесс далее, мы
приведем данный пучок к квазидиагональному виду
(25)
где 
, а уравнение 
не
имеет ненулевых решений, т. е. столбцы матрицы 
линейно независимы.
Если строки пучка линейно
зависимы, то транспонированный пучок 
может
быть приведен к виду (25), где вместо чисел 
будут фигурировать числа 
. Но тогда данный
пучок окажется
преобразованным к квазидиагональному виду
(26)
(,),
где у пучка 
как столбцы, так и строки
линейно независимы, т. е.
- регулярный
пучок.
Рассмотрим теперь общий случай, когда
строки и столбцы данного пучка могут быть связаны линейными зависимостями с
постоянными коэффициентами. Обозначим максимальное число постоянных независимых
решений уравнений
и 
соответственно через 
и 
.
Вместо первого из этих уравнений, подобно тому как мы это делали при
доказательстве теоремы 4, рассмотрим соответствующее векторное уравнение 
(
и 
- операторы,
отображающие 
в
). Линейно
независимые постоянные решения этого уравнения обозначим через 
и
примем за первые базисные векторы в . Тогда в соответствующей матрице 
первые столбцов
будут состоять из нулей
(27)
Совершенно так же в пучке 
первые строк
можно сделать нулевыми. Тогда данный пучок примет вид
(28)
где
строки и столбцы пучка 
уже не связаны линейными
зависимостями с постоянными коэффициентами. К пучку применимо
представление типа (26). Таким образом, в самом общем случае пучок всегда может быть
приведен к каноническому квазидиагональному виду
(29)
Выбор
индексов при 
и
связан с
тем, что нам удобно здесь считать 
и 
.
Заменяя
фигурирующий в (29) регулярный пучок его канонической формой (6) (см. § 2,
стр. 334), получим окончательно следующую квазидиагональную матрицу
(30)
где матрица 
имеет
жорданову или естественную нормальную форму, а 
.
Матрица
(30) представляет собой каноническую форму пучка в самом общем
случае.
Для того чтобы по данному пучку
непосредственно определить его каноническую форму (30), не осуществляя
последовательно процесс приведения, мы, следуя Кронекеру, в следующем
параграфе введем понятие о минимальных индексах пучка.
