§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов

Установим предварительно одно свойство перестановочных операторов, сформулировав его в виде леммы.

Лемма 1. Перестановочные операторы  и   всегда имеют общий собственный вектор.

Доказательство. Пусть  есть собственный вектор оператора . Тогда в силу перестановочности операторов  и

.                       (62)

Пусть в ряду векторов

,

первые  векторов линейно независимы, в то время как -й вектор  является уже линейной комбинацией предыдущих. Тогда подпространство  будет инвариантно относительно  и потому в этом подпространстве  будет существовать собственный вектор  оператора . С другой стороны, равенства (62) показывают, что векторы  являются собственными векторами оператора , отвечающими одному и тому же характеристическому числу . Поэтому и любая линейная комбинация этих векторов, в частности вектор , будет собственным вектором оператора , отвечающим характеристическому числу . Таким образом, доказано существование общего собственного вектора операторов  и .

Пусть  – произвольный нормальный оператор в -мерном эрмитовом пространстве . В этом случае операторы  и  перестановочны между собой и потому имеют общий собственный вектор . Тогда (см. § 8, 7.)

.

Обозначим через  одномерное подпространство, содержащее вектор , а через  – ортогональное дополнение для  в :

.

Так как  инвариантно относительно  и , то (см. § 8, 5,)  также инвариантно относительно этих операторов. Поэтому перестановочные операторы  и  имеют согласно лемме 1 общий собственный вектор  в :

.

Очевидно, . Полагая  и

,

мы аналогичными соображениями установим существование в  общего собственного вектора  операторов  и . Очевидно,  и . Продолжая этот процесс далее, мы получим  попарно ортогональных общих собственных векторов  операторов  и :

                 (63)

Векторы  можно пронормировать. При этом равенства (63) сохранятся.

Таким образом, мы доказали, что нормальный оператор всегда имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

Так как из  всегда следует , то из равенств (63) вытекает:

1. Если оператор  нормален, то каждый собственный вектор оператора  является собственным вектором сопряженного оператора , т. е. если оператор  нормален, то операторы  и  имеют одни и те же собственные векторы.

Пусть теперь, обратно, дано, что линейный оператор  имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:

.

Докажем, что в этом случае  является нормальным оператором. Действительно, положим:

.

Тогда

.

Отсюда следует:

,

т. е. имеют место все равенства (63).

Но тогда

 и ,

откуда

.

Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» (спектральную) характеристику нормального оператора  (наряду с «внешней»: ):

Теорема 4. Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда этот оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

В частности, нами доказано, что нормальный оператор всегда является оператором простой структуры.

Пусть  – нормальный оператор с характеристическими числами . По интерполяционной формуле Лагранжа определим два многочлена  и  из условий

.

Тогда в силу (63)

,               (64)

т. е.

2. Для нормального оператора  каждый из операторов  и  представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием характеристических чисел оператора .

Пусть  – инвариантное подпространство в  для нормального оператора  и . Тогда согласно § 8, 5. (стр. 241) подпространство  инвариантно относительно . Но , где  – многочлен. Поэтому  инвариантно и относительно данного оператора . Таким образом,

3. Если  – инвариантное подпространство относительно нормального оператора , а  – ортогональное дополнение к , то и  является инвариантным подпространством для .

Остановимся теперь на спектре эрмитова оператора. Так как эрмитов оператор  является частным видом нормального оператора, то по доказанному он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:

.                   (65)

Из  следует:

,                      (66)

т. е. все характеристические числа эрмитова оператора  вещественны.

Нетрудно видеть, что и обратно, нормальный оператор с вещественными характеристическими числами всегда эрмитов. В самом деле, из (65), (66) и

следует:

,

т. е.

.

Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» характеристику эрмитова оператора (наряду с «внешней»: ):

Теорема 5. Линейный оператор  является эрмитовым тогда и только тогда, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характеристическими числами.

Остановимся теперь на спектре унитарного оператора. Поскольку унитарный оператор  является нормальным, то он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов

.                   (67)

При этом

.                      (68)

Из  находим:

.                   (69)

Обратно, из (67), (68), (69) следует: . Таким образом, среди нормальных операторов унитарный оператор выделяется тем, что у него все характеристические числа по модулю равны единице.

Мы получили следующую «внутреннюю» характеристику унитарного оператора (наряду с «внешней»: ):

Теорема 6. Линейный оператор тогда и только тогда является унитарным, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с характеристическими числами, по модулю равными единице.

Так как в ортонормированном базисе нормальная (эрмитова, унитарная матрица соответственно определяет нормальный (эрмитов, унитарный) оператор, то получаем следующие предложения:

Теорема 4'. Матрица  является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице:

.              (70)

Теорема 5'. Матрица  является эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице с вещественными числами на диагонали:

.                  (71)

Теорема 6'. Матрица  является унитарной тогда и только тогда, если она унитарно-подобна диагональной матрице с диагональными элементами, по модулю равными единице:

.                   (72)