§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов
Установим
предварительно одно свойство перестановочных операторов, сформулировав его в
виде леммы.
Лемма 1. Перестановочные
операторы
и
всегда имеют общий
собственный вектор.
Доказательство.
Пусть
есть
собственный вектор оператора
. Тогда в силу перестановочности
операторов
и
. (62)
Пусть
в ряду векторов
,
первые
векторов
линейно независимы, в то время как
-й вектор
является уже линейной
комбинацией предыдущих. Тогда подпространство
будет инвариантно относительно
и потому в этом
подпространстве
будет
существовать собственный вектор
оператора
. С другой стороны,
равенства (62) показывают, что векторы
являются собственными векторами
оператора
,
отвечающими одному и тому же характеристическому числу
. Поэтому и любая линейная
комбинация этих векторов, в частности вектор
, будет собственным вектором оператора
,
отвечающим характеристическому числу
. Таким образом, доказано существование
общего собственного вектора операторов
и
.
Пусть
–
произвольный нормальный оператор в
-мерном эрмитовом пространстве
. В этом случае
операторы
и
перестановочны
между собой и потому имеют общий собственный вектор
. Тогда (см. § 8, 7.)
.
Обозначим
через
одномерное
подпространство, содержащее вектор
, а через
– ортогональное дополнение
для
в
:
.
Так
как
инвариантно
относительно
и
, то (см.
§ 8, 5,)
также
инвариантно относительно этих операторов. Поэтому перестановочные операторы
и
имеют согласно
лемме 1 общий собственный вектор
в
:
.
Очевидно,
. Полагая
и
,
мы
аналогичными соображениями установим существование в
общего собственного вектора
операторов
и
. Очевидно,
и
. Продолжая этот
процесс далее, мы получим
попарно ортогональных общих
собственных векторов
операторов
и
:
(63)
Векторы
можно
пронормировать. При этом равенства (63) сохранятся.
Таким
образом, мы доказали, что нормальный оператор всегда имеет полную
ортонормированную систему собственных векторов.
Так
как из
всегда
следует
,
то из равенств (63) вытекает:
1.
Если оператор
нормален,
то каждый собственный вектор оператора
является собственным вектором
сопряженного оператора
, т. е. если оператор
нормален, то
операторы
и
имеют
одни и те же собственные векторы.
Пусть
теперь, обратно, дано, что линейный оператор
имеет полную ортонормированную
систему собственных векторов:
.
Докажем,
что в этом случае
является нормальным оператором.
Действительно, положим:
.
Тогда
.
Отсюда
следует:
,
т.
е. имеют место все равенства (63).
Но
тогда
и
,
откуда
.
Таким
образом, мы получили следующую «внутреннюю» (спектральную) характеристику
нормального оператора
(наряду с «внешней»:
):
Теорема
4. Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда этот
оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.
В
частности, нами доказано, что нормальный оператор всегда является оператором
простой структуры.
Пусть
–
нормальный оператор с характеристическими числами
. По интерполяционной формуле Лагранжа
определим два многочлена
и
из условий
.
Тогда
в силу (63)
, (64)
т.
е.
2.
Для нормального оператора
каждый из операторов
и
представим в виде
многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются
заданием характеристических чисел оператора
.
Пусть
–
инвариантное подпространство в
для нормального оператора
и
. Тогда согласно §
8, 5. (стр. 241) подпространство
инвариантно относительно
. Но
, где
– многочлен.
Поэтому
инвариантно
и относительно данного оператора
. Таким образом,
3.
Если
–
инвариантное подпространство относительно нормального оператора
, а
– ортогональное
дополнение к
,
то и
является
инвариантным подпространством для
.
Остановимся
теперь на спектре эрмитова оператора. Так как эрмитов оператор
является частным
видом нормального оператора, то по доказанному он имеет полную
ортонормированную систему собственных векторов:
. (65)
Из
следует:
, (66)
т.
е. все характеристические числа эрмитова оператора
вещественны.
Нетрудно
видеть, что и обратно, нормальный оператор с вещественными характеристическими
числами всегда эрмитов. В самом деле, из (65), (66) и
следует:
,
т.
е.
.
Таким
образом, мы получили следующую «внутреннюю» характеристику эрмитова оператора
(наряду с «внешней»:
):
Теорема
5. Линейный оператор
является эрмитовым тогда и только тогда,
когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов с
вещественными характеристическими числами.
Остановимся
теперь на спектре унитарного оператора. Поскольку унитарный оператор
является
нормальным, то он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов
. (67)
При
этом
. (68)
Из
находим:
. (69)
Обратно,
из (67), (68), (69) следует:
. Таким образом, среди нормальных
операторов унитарный оператор выделяется тем, что у него все характеристические
числа по модулю равны единице.
Мы
получили следующую «внутреннюю» характеристику унитарного оператора (наряду с «внешней»:
):
Теорема
6. Линейный оператор тогда и только тогда является унитарным, когда он имеет
полную ортонормированную систему собственных векторов с характеристическими
числами, по модулю равными единице.
Так
как в ортонормированном базисе нормальная (эрмитова, унитарная матрица
соответственно определяет нормальный (эрмитов, унитарный) оператор, то получаем
следующие предложения:
Теорема
4'. Матрица
является
нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной
матрице:
. (70)
Теорема
5'. Матрица
является
эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице
с вещественными числами на диагонали:
. (71)
Теорема
6'. Матрица
является
унитарной тогда и только тогда, если она унитарно-подобна диагональной матрице
с диагональными элементами, по модулю равными единице:
. (72)