§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби
Из
предыдущего параграфа вытекает, что для определения ранга и сигнатуры формы
достаточно каким-либо способом привести эту форму к сумме независимых
квадратов.
Мы
изложим здесь метод приведения Лагранжа.
1.
Метод Лагранжа. Пусть дана квадратичная форма
.
Рассмотрим
два случая:
1)
При некотором
диагональный
коэффициент
.
Тогда, полагая
, (15)
непосредственной
проверкой убеждаемся в том, что квадратичная форма
уже не содержит переменной
. Этот способ
выделения квадрата из квадратичной формы применим всегда, когда в матрице
имеются
диагональные элементы, отличные от нуля.
2)
Коэффициенты
,
но
. В
этом случае полагаем:
. (16)
Формы
(17)
линейно
независимы, так как первая содержит
, но не содержит
, а вторая, наоборот,
содержит
,
но не содержит
.
Поэтому и формы, стоящие под знаком квадрата в (16), линейно независимы [как
сумма и разность независимых линейных форм (17)].
Таким
образом, мы выделили в
два независимых квадрата. Каждый из
этих квадратов содержит
и
, в то время как форма
, как легко
проверить, этих переменных не содержит.
Последовательным
комбинированием приемов 1) и 2) можно всегда с помощью рациональных операций
привести форму
к
сумме квадратов. При этом полученные квадраты будут независимы, так как на
каждом этапе выделяемые квадраты содержат переменные, которые отсутствуют в
последующих квадратах.
Заметим
еще, что основные формулы (15) и (16) могут быть записаны так:
, (15')
. (16')
Пример.
.
Применяем
формулу (15')
:
,
где
.
Применяем
формулу (16')
:
где
.
Окончательно
2.
Формула Якоби. Обозначим через
ранг квадратичной формы
и допустим, что
. (18)
Поскольку
, то,
выделяя по методу Лагранжа из формы
один квадрат, получим:
, (19)
где
квадратичная форма
(20)
не
содержит переменной
. Из тождества (19) следует, что
коэффициенты формы
определяются формулами
. (21)
Но
тогда эти коэффициенты совпадают с соответствующими элементами матрицы
,
которая
получается из симметрической матрицы
после применения к ней первого этапа
алгоритма исключения Гаусса (см. гл. II, § 1).
Таким
образом, процесс выделения одного квадрата по методу Лагранжа, по существу,
совпадает с первым этапом алгоритма Гаусса. Элементы первой строки матрицы
являются
коэффициентами в выделяемом квадрате; величина, обратная элементу
, является
множителем при квадрате. Остальные элементы матрицы
определяют коэффициенты
формы
.
Для выделения второго квадрата следует выполнить второй этап алгоритма Гаусса и
т. д. Применяя к симметрической матрице
полный алгоритм Гаусса, состоящий из
этапов, получим
матрицу
и
соответственно представление квадратичной формы
в виде суммы квадратов
(22)
Введем
сокращенные обозначения для независимых линейных форм
. (23)
Замечая,
что
(24)
можно
тождество (22) записать в виде
(25)
Эта
формула, дающая представление квадратичной формы
в виде суммы независимых квадратов,
носит название формулы Якоби.
Для
коэффициентов, фигурирующих в формуле Якоби линейных форм
, имеют место равенства
. (26)
Если
через
обозначить
произвольную верхнюю треугольную матрицу, у которой первые
строк совпадают с
соответствующими строками матрицы
, то на основе формулы Якоби можно
утверждать, что преобразование переменных
переводит квадратичную форму
с диагональной
матрицей коэффициентов
в квадратичную форму
. Но тогда [см. (7)]
справедливо равенство
.
Эта
формула устанавливает разложение симметрической матрицы
на треугольные множители и
совпадает с формулой (55) на стр. 55.
Формулу
Якоби часто представляют в другом виде.
Вместо
вводят линейно
независимые формы
. (27)
Тогда
формула Якоби (25) запишется так:
. (28)
Здесь
, (29)
где
. (30)
Пример.
.
Приводим
матрицу
к
гауссовой форме
.
Отсюда
.
Формула
(22) дает:
.
Из
формулы Якоби (28) вытекает
Теорема 2 (Якоби). Если для
квадратичной формы
ранга
имеют
место неравенства
, (31)
то
число положительных квадратов
и число отрицательных квадратов
формы
совпадают соответственно
с числом знакопостоянств
и с числом знакоперемен
в ряду чисел
, (32)
т.е.
и сигнатура
. (33)
Замечание
1. В случае, когда в ряду чисел
имеются нули, но нет трех подряд идущих
нулей, для определения сигнатуры можно пользоваться формулой
,
опуская
нулевое
,
если
, и
полагая в случае
(34)
Мы
приводим здесь это правило без обоснования.
Замечание
2. При наличии трех подряд идущих нулей в ряду
сигнатура квадратичной формы не может
быть непосредственно определена при помощи теоремы Якоби. В этом случае знаки
ненулевых
не
определяют сигнатуру формы. Следующий пример убеждает нас в этом:
.
Здесь
.
В
то же время
В
обоих случаях
.
Замечание
3. Если
,
a
, то
знаки
не
определяют сигнатуру формы. В качестве подтверждающего примера можно привести
форму
.
Однако
в последнем случае перенумерацией переменных можно достичь того, чтобы имело
место и неравенство
. Действительно, пусть
-я строка
линейно независима
по отношению к первым
строкам. Поменяем между собой номера
переменных
и
. После
этого в новой матрице коэффициентов
первые
строк, а значит (в силу
симметричности матрицы) и первые
столбцов, линейно независимы. Тогда в
произвольном миноре
-го порядка
каждую строку представим в
виде линейной комбинаций первых
строк, а затем каждый столбец – в
виде линейной комбинации первых
столбцов. В соответствии с этим,
расщепляя минор
на
сумму определителей
-го порядка, мы в конце концов
получим, что минор
равен произведению главного минора
на некоторый
числовой множитель:
. Но среди миноров
имеются отличные от нуля
миноры, так как
–
ранг матрицы
.
Поэтому
.