Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы
С каждой
квадратной матрицей связаны два многочлена: характеристический и минимальный.
Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории матриц. Так,
например, понятие о функции от матрицы, которое мы введем в следующей главе,
будет целиком основываться на понятии о минимальном многочлене матрицы. В этой
главе рассматриваются свойства характеристического и минимального многочлена.
Этому исследованию предпосылаются основные сведения о многочленах с матричными
коэффициентами и о действиях над ними.
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов
Рассмотрим
квадратную многочленную матрицу
, т. е. квадратную матрицу, элементами
которой являются многочлены относительно
(с коэффициентами из данного
числового поля
):
. (1)
Матрицу
можно представить
в виде многочлена с матричными коэффициентами, расположенного по степеням
:
, (2)
где
. (3)
Число
называется степенью
многочлена, если
.
Число
называется
порядком многочлена. Многочлен (1) будем называть регулярным,
если
.
Многочлен с
матричными коэффициентами мы будем иногда называть матричным многочленом.
В отличие от матричного многочлена обычный многочлен со скалярными
коэффициентами будем называть скалярным многочленом.
Рассмотрим
основные действия над матричными многочленами. Пусть даны два матричных
многочлена одного и того же порядка
и
. Обозначим через
наибольшую из степеней этих
многочленов. Эти многочлены можно записать в виде
,
.
Тогда
,
т. е. сумма
(разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть
представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из
степеней данных многочленов.
Пусть даны два
матричных многочлена
и
степеней
и
одного и того же порядка
:
,
.
Тогда
. (4)
Если бы мы
перемножили
на
(т. е. изменили
бы порядок сомножителей), то мы получили бы, вообще говоря, другой многочлен.
Умножение
матричных многочленов обладает еще одним специфичным свойством. В отличие от
произведения скалярных многочленов произведение матричных многочленов (4) может
иметь степень, меньшую
, т. е. меньшую суммы степеней
сомножителей. Действительно, в (4) произведение матриц
может равняться нулю при
и
. Однако, если хотя
бы одна из матриц
и
неособенная, то из
и
следует:
. Таким образом, произведение
двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна
сумме степеней сомножителей. Если хотябы один из двух сомножителей регулярный
многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней
сомножителей.
Матричный
многочлен
-го
порядка
можно
записать двояко:
(5)
и
. (5')
Обе записи при
скалярном
дают
один и тот же результат. Однако если мы пожелаем вместо скалярного аргумента
подставить
квадратную матрицу
-го порядка
, то результаты подстановок
в (5) и (5') будут, вообще говоря, различны, так как степени матрицы
могут не быть
перестановочными с матричными коэффициентами
.
Положим
(6)
и
(6')
и будем называть
правым,
а
левым
значением матричного многочлена
при подстановке вместо
матрицы
.
Рассмотрим снова
два матричных многочлена
,
и их произведение
(7')
и
. (7'')
Преобразования в
тождестве (7') сохраняют свою силу при замене
матрицей
-го порядка
, если только
матрица
перестановочна
со всеми матричными коэффициентами
. Аналогично в тождестве (7")
можно заменить скаляр
матрицей
, если матрица
перестановочна со
всеми коэффициентами
. В первом случае получаем:
, (8')
во втором
. (8'')
Таким образом,
правое (левое) значение произведения двух матричных многочленов равно
произведению правых (левых) значений сомножителей, если матрица-аргумент
перестановочна со
всеми коэффициентами правого (левого) сомножителя.
Если
— сумма двух
матричных многочленов
-го порядка
и
, то при замене скаляра
любой матрицей
-го порядка
всегда справедливы
тождества
,
. (9)