§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова

Рассмотрим сначала случай четного . Тогда

                  (130)

Согласно формуле (68') на стр. 503 имеем:

.

С другой стороны, , где  – определитель Гурвица порядка . Поэтому

.             (31)

Помножим обе части равенства (130) на  и снова применим формулу (68') со стр. 503. Получим:

,

откуда

.                     (131')

При нечетном  имеем:

,                   (132)

откуда снова по формуле (68') стр. 503 имеем:

.

С другой стороны, из (132) находим:

,                  (132')

где

; .

Но тогда для

.                    (133)

С другой же стороны,

.                       (133')

В полученном определителе -го порядка к каждой строке с четным номером прибавим предыдущую строку, помноженную предварительно на . Тогда этот определитель перейдет в . Поэтому из (133) и (133') получаем:

.

Таким образом имеет место следующая связь между определителями Гурвица и Маркова:

а) при :

;

б) при  (заменяя  на ):

Эти формулы показывают, как неравенства Маркова (115) переходят в неравенства Гурвица и наоборот. Кроме того, эти неравенства в соединении с критерием Льенара-Шипара дают нам следующую теорему:

Для того чтобы вещественный многочлен   со старшим, коэффициентом  был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы:

1) все коэффициенты этого многочлена были положительны и

2) одна из квадратичных форм (112) была положительно определенной.