§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве
Определение
6. Линейный оператор
называется нормальным, если он
перестановочен со своим сопряженным:
. (51)
Определение
7. Линейный оператор
называется эрмитовым, если он равен
своему сопряженному:
. (52)
Определение
8. Линейный оператор
называется унитарным, если он обращён
своему сопряженному
. (53)
Заметим,
что унитарный оператор можно определить как изометричный оператор в эрмитовом
пространстве, т. е. как оператор, сохраняющий метрику.
Действительно,
пусть при произвольных векторах
и
из
. (54)
Тогда
согласно (46)
и,
следовательно, в силу произвольности вектора
, т. е.
или
. Обратно, из (53) следует (54).
Из
(53) или (54) вытекает, что 1. произведение двух унитарных операторов есть
снова унитарный оператор, 2. единичный оператор
является унитарным и 3. обратный
оператор для унитарного есть также унитарный оператор. Поэтому совокупность
всех унитарных операторов является группой. Эту группу называют унитарной
группой.
Эрмитов
оператор и унитарный оператор являются частными видами нормального оператора.
Теорема
3. Произвольный линейный оператор
всегда можно представить в виде
, (55)
где
и
– эрмитовы
операторы (эрмитовы компоненты оператора
). Эрмитовы компоненты однозначно
определяются заданием оператора
. Оператор
нормален тогда и только
тогда, когда его эрмитовы компоненты
и
перестановочны между собой.
Доказательство.
Пусть имеет место (55). Тогда
. (56)
Из
(55) и (56) находим:
. (57)
Обратно,
формулы (57) определяют эрмитовы операторы
и
, связанные с
равенством (55).
Пусть
теперь
–
нормальный оператор:
. Тогда из (57) следует:
. Обратно, из
в силу (55) и
(56) следует:
.
Теорема доказана.
Представление
произвольного линейного оператора
в виде (55) является аналогом
представления произвольного комплексного числа
в виде
, где
и
– вещественные числа.
Пусть
в некотором ортонормированном базисе операторам
и
отвечают соответственно матрицы
. Тогда операторным
равенствам
(58)
будут
соответствовать матричные равенства
. (59)
Поэтому
мы и определяем нормальную матрицу как матрицу, перестановочную со своей
сопряженной, эрмитову как равную своей сопряженной и, наконец, унитарную как
обратную своей сопряженной.
Тогда
в ортонормированном базисе нормальному (эрмитову, унитарному) оператору
отвечает соответственно нормальная (эрмитова, унитарная) матрица.
Эрмитова
матрица
в
силу (59) характеризуется следующими соотношениями между элементами:
,
т.
е. эрмитова матрица всегда является матрицей коэффициентов некоторой эрмитовой
формы (см. § 1).
Унитарная
матрица
в
силу (59) характеризуется следующими соотношениями между элементами:
. (60)
Так
как из
следует
, то из
(60) следуют эквивалентные соотношения
. (61)
Равенства
(60) выражают собой ортонормированность строк, а равенства (61) – ортонормированность
столбцов в матрице
.
Унитарная
матрица является матрицей коэффициентов некоторого унитарного преобразования
(см. § 7).
Оператор
,
осуществляющий ортогональное проектирование векторов унитарного пространства
на заданное
подпространство
,
является эрмитовым проекционным оператором.
Действительно,
этот оператор является проекционным, т. е.
(см. гл. III, §6). Далее, из
ортогональности векторов
и
следует:
.
Отсюда
в силу произвольности векторов
,
т.
е.
. Из
этого равенства следует, что
– эрмитов оператор, так как
.