§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы

1. Мы изложим еще один метод построения преобразующей матрицы, который часто приводит к меньшим вычислениям, нежели метод предыдущего параграфа. Однако этот второй метод применим лишь тогда, когда нормальная форма жорданова и известны элементарные делители

                   (66)

данной матрицы .

Пусть , где

.

Тогда, обозначая через  -й столбец матрицы  , мы матричное равенство

заменим эквивалентной системой равенств

,                                            (67)

,                (68)

…………………………………………………………….                             

которую перепишем еще так:

,                                         (67')

,                (68')

…………………………………………………………………                                   

Таким образом, все столбцы матрицы  разбиваются на «жордановы цепочки» столбцов: . Каждой жордановой клетке в  [или, что то же, каждому элементарному делителю (66)] соответствует своя жорданова цепочка столбцов. Каждая жорданова цепочка столбцов характеризуется, системой уравнений типа (67), (68) и т. п.

Нахождение преобразующей матрицы  сводится к разысканию жордановых цепочек, которые в совокупности давали бы  линейно независимых столбцов.

Мы покажем, что эти жордановы цепочки столбцов можно определить при помощи приведенной матрицы  (см. гл. IV, § 5).

Для матрицы  имеем тождество

,                 (69)

где  – минимальный многочлен матрицы .

Пусть

        .

Продифференцируем почленно последовательно  раз тождество (69):

                (70)

Подставляя  вместо  в (69), (70) и замечая, что правые части при этом обращаются в нуль, получим:

,                     (71)

где

                    (72)

Заменим в равенствах (71) матрицы (72) их -ми столбцами . Получим:

                    (73)

.

Поскольку , можно выбрать такое , что

.                       (74)

Тогда  столбцов

             (75)

линейно независимы. В самом деле, пусть

.                (76)

Помножая обе части (76) последовательно на , получим:

.                    (77)

Из (76) и (77) в силу (74) находим:

.

Поскольку линейно независимые столбцы (75) удовлетворяют системе уравнений (73), они образуют жорданову цепочку векторов, отвечающую элементарному делителю  [ср. (73) с (67')].

Если при некотором  , но , то столбцы  образуют жорданову цепочку из  векторов и т. д.

2. Покажем сначала, как построить преобразующую матрицу  в том случае, когда матрица  имеет попарно взаимно простые элементарные делители:

.

Элементарному делителю  ставим в соответствие жорданову цепочку столбцов , построенную по указанному выше способу. Тогда

.                      (78)

Давая  значения , получим  жордановых цепочек, содержащих в совокупности  столбцов. Эти столбцы линейно независимы.

Действительно, пусть

.                    (79)

Помножим обе части равенства (79) слева на произведение

.                       (80)

Получим:

.

Заменяя в (80)  последовательно на , найдем:

  ,

что и требовалось доказать.

Матрицу  определим формулой

.                (81)

Пример.

.

Составим первый столбец :

.

Для вычисления первого столбца матрицы  мы помножим все строки матрицы  на первый столбец матрицы . Получим: . Помножая на этот столбец все строки матрицы , найдем . Поэтому

.

Отсюда  и . Поскольку , то переходим ко вторым столбцам и, действуя аналогично предыдущему, находим:  и . Составляем матрицу:

.

Сокращаем первые два столбца на 4 и вторые два столбца на .

.

Предлагаем читателю проверить, что

.

3. Переходя к общему случаю, будем разыскивать жордановы цепочки векторов, отвечающие характеристическому числу , которому соответствуют  элементарных делителей ,  элементарных делителей ,  делителей  и т. д.

Установим предварительно некоторые свойства матриц

.                     (82)

1. Матрицы (82) могут быть представлены в виде многочленов от :

,                     (83)

где

                  .                       (84)

В самом деле,

,

где

.

Поэтому

,                    (85)

где

. (86)

Из (82), (85) и (86) следует (83).

2. Матрицы (82) имеют соответственно ранги

.

Это свойство матриц (82) непосредственно получается из 1 и теоремы 8 гл. VI, если положить ранг равным  и воспользоваться формулой (48) для дефекта функции от  (стр. 130).

3. В ряду матриц (82) столбец каждой матрицы является линейной комбинацией столбцов любой последующей матрицы.

Возьмем две матрицы  и  в ряду (82) (см. 1). Пусть . Тогда из (84) следует:

.

Отсюда -й столбец   матрицы  линейно выражается через столбцы  матрицы :

.

где  – элементы -го столбца матрицы .

4. Не меняя основных формул (71), можно в матрице  любой столбец заменить произвольной линейной комбинацией всех столбцов, сделав соответствующую замену в .

Теперь перейдем к построению жордановых цепочек столбцов для элементарных делителей

.

Пользуясь свойствами 2 и 4, мы матрицу  преобразуем к виду

,                        (87)

где столбцы  линейно независимы между собой. При этом

.

Согласно 3 для любого   столбец  есть линейная комбинация столбцов :

.                     (88)

Помножим обе части этого равенства на . Тогда, замечая, что [см. (73)]

 ,  ,

получим в силу (87):

,

откуда в (88)

.

Поэтому столбцы  представляют собой линейно независимые комбинации столбцов  и потому, согласно 4 и 2, не меняя матрицы , можно вместо  взять столбцы , а вместо ,– нули.

Тогда матрица  примет вид

.                (89)

Таким же образом, сохраняя вид (87) и (89) для матриц  и , мы следующую матрицу  представим в виде

                      (90)

и т. д.

Формулы (73) дадут нам жордановы цепочки

               (91)

Эти жордановы цепочки независимы между собой. Действительно, все столбцы  в цепочках (91) независимы, так как они образуют независимых столбцов матрицы . Все столбцы  в (91) независимы, так как они образуют  независимых столбцов в матрице  и т. д.; наконец, все столбцы в (91) независимы, так как они образуют  независимых столбцов в матрице . Число столбцов в (91) равно сумме степеней элементарных делителей, соответствующих данному характеристическому числу .

Пусть матрица  имеет  различных характеристических чисел  . Для каждого характеристического числа  составим свою систему независимых жордановых цепочек (91); число столбцов в этой системе будет равно  . Все полученные таким образом цепочки содержат  столбцов.

Эти  столбцов линейно независимы и составляют одну из искомых преобразующих матриц .

Доказательство линейной независимости полученных  столбцов проводится следующим образом.

Любая линейная комбинация этих  столбцов может быть представлена в виде

,                 (92)

где  – линейная комбинация столбцов в жордановых цепочках (91), соответствующих характеристическому числу  . Но любой столбец в жордановой цепочке, соответствующей характеристическому числу , удовлетворяет уравнению

.

Поэтому

.                 (93)

Возьмем фиксированное число   и построим интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра , (см. гл. V, §§ 1, 2) по следующим значениям па спектре матрицы:

 при

и

, .

Тогда при любом   делится на  без остатка; поэтому в силу (93)

   .                       (94)

Точно так же разность  делится на  без остатка; поэтому

.                      (95)

Помножая обе части (92) на , мы согласно (94) и (95) получим:

.

Это справедливо для любого . Но  есть линейная комбинация независимых столбцов, отвечающих одному и тому же характеристическому числу  . Поэтому все коэффициенты в линейной комбинации   и, следовательно, все коэффициенты в (92) равны нулю.

Замечание. Укажем на некоторые преобразования над столбцами матрицы , при которых она остается преобразующей к той же жордановой форме (при том же расположении жордановых диагональных клеток):

I. Умножение всех столбцов какой-либо жордановой цепочки на произвольное число, отличное от нуля.

II. Прибавление к каждому (начиная со второго) столбцу жордановой цепочки предыдущего столбца той же цепочки, предварительно помноженного на одно и то же произвольное число.

III. Прибавление ко всем столбцам жордановой цепочки соответствующих столбцов другой цепочки, содержащей такое же или большее число столбцов и отвечающей тому же характеристическому числу.

Пример 1.

,

,

.

Вычисляем последовательно столбцы матрицы  и соответствующие столбцы матриц . Нам нужно получить два линейно независимых столбца матрицы  и один отличный от нуля столбец матрицы .

Поэтому

.

Матрицу  можно несколько упростить. Последовательно

1) разделим пятый столбец на 4;

2) к третьему столбцу прибавим первый, к четвертому – второй;

3) из четвертого столбца вычтем третий;

4) разделим первый и второй столбцы на 2;

5) вычтем из второго столбца первый, предварительно помноженный на . Получим матрицу

.

Предлагаем читателю проверить, что  и .

Пример 2.

.

Составляем многочлены

и матрицы

В качестве первых трех столбцов матрицы  возьмем третьи столбцы этих матриц: . В матрицах  из первого столбца вычтем удвоенный третий, а ко второму и четвертому столбцам прибавим третий. Получим:

В матрицах  к первому столбцу прибавим четвертый столбец, умноженный на 7, а из второго столбца вычтем четвертый. Получим:

В качестве последнего столбца в  берем первый столбец в .

Имеем:

.

Для контроля можно проверить, что  и .