ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ

§ 1. Введение

1.Настоящая глава посвящена следующей задаче:

Даны четыре матрицы , ; ,  одинаковых размеров  с элементами из числового поля . Требуется найти, при каких условиях существуют две квадратные неособенные матрицы  и  соответственно порядков  и такие, что одновременно

,                                           (1)

Вводя в рассмотрение пучки матриц  и , два матричных равенства (1) можно заменить одним равенством

                                       (2)

Определение 1. Два пучка прямоугольных матриц  и  одних и тех же размеров , связанные равенством (2), в котором  и  — постоянные (т. е. не зависящие от ) квадратные неособенные матрицы соответственно порядков  и, мы будем называть строго эквивалентными.

Согласно общему определению эквивалентности -матриц (см. гл. VI, стр. 138) пучки  и  являются эквивалентными, если имеет место равенство вида (2), в котором  и  — две квадратные -матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями. При строгой же эквивалентности требуется дополнительно, чтобы матрицы  и  не зависели от .

Критерий эквивалентности пучков  и  следует из общего критерия эквивалентности -матриц и состоит в совпадении инвариантных многочленов или, что то же, элементарных делителей пучков  и  (см. гл. VI, стр. 144).

В настоящей главе будет установлен критерий строгой эквивалентности двух пучков матриц и для каждого пучка будет определена строго эквивалентная ему каноническая форма

2. Поставленная задача допускает естественную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим пучок линейных операторов , отображающих  в . При определенном выборе базисов в этих пространствах пучку операторов  отвечает пучок прямоугольных матриц  (размером ); при изменении базисов в  и  пучок  заменяется строго эквивалентным пучком , где  и  — квадратные неособенные матрицы порядков  и (см. гл. III, §§ 2 и 4). Таким образом, критерий строгой эквивалентности дает характеристику того класса пучков матриц  (размером ), которые описывают один и тот же пучок операторов , отображающих  в , при различных выборах базисов в этих пространствах.

Для получения канонической формы пучка нужно найти те базисы в  и , в которых пучок операторов  описывается возможно более простой матрицей.

Поскольку пучок операторов задается двумя операторами  и , то можно еще сказать, что настоящая глава посвящена одновременному изучению двух операторов  и , отображающих  в .

3. Все пучки матриц  размером  подразделяются на два основных типа: на регулярные и сингулярные пучки.

Определение 2. Пучок матриц  называется регулярным, если 1)  и  — квадратные матрицы одного и того же порядка  и 2) определитель  не равен тождественно нулю. Во всех остальных случаях ( или , но ) пучок называется сингулярным.

Критерий строгой эквивалентности, а также каноническая форма для регулярных пучков матриц были установлены Вейерштрассом в 1867 г. [150] на основе его теории элементарных делителей, изложенной нами в главах VI и VII. Аналогичные вопросы для сингулярных пучков получили свое разрешение позже, в 1890 г., в исследованиях Л. Кронекера [133]. Результаты Кронекера и составляют основное содержание этой главы.