ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение
1.Настоящая глава посвящена следующей
задаче:
Даны
четыре матрицы
,
;
,
одинаковых
размеров
с
элементами из числового поля
. Требуется найти, при каких условиях
существуют две квадратные неособенные матрицы
и
соответственно порядков
и
такие, что одновременно
,
(1)
Вводя в рассмотрение пучки матриц
и
, два матричных
равенства (1) можно заменить одним равенством
(2)
Определение 1. Два пучка
прямоугольных матриц
и
одних
и тех же размеров
, связанные равенством (2), в котором
и
— постоянные (т.
е. не зависящие от
) квадратные неособенные матрицы
соответственно порядков
и
, мы будем называть строго
эквивалентными.
Согласно общему определению
эквивалентности
-матриц
(см. гл. VI, стр. 138) пучки
и
являются
эквивалентными, если имеет место равенство вида (2), в котором
и
— две квадратные
-матрицы с
постоянными и отличными от нуля определителями. При строгой же эквивалентности
требуется дополнительно, чтобы матрицы
и
не
зависели от
.
Критерий эквивалентности пучков
и
следует из общего
критерия эквивалентности
-матриц и состоит в совпадении
инвариантных многочленов или, что то же, элементарных делителей пучков
и
(см.
гл. VI, стр. 144).
В настоящей главе будет установлен
критерий строгой эквивалентности двух пучков матриц и для каждого пучка будет
определена строго эквивалентная ему каноническая форма
2. Поставленная задача допускает
естественную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим пучок линейных операторов
, отображающих
в
. При определенном
выборе базисов в этих пространствах пучку операторов
отвечает пучок
прямоугольных матриц
(размером
); при изменении
базисов в
и
пучок
заменяется строго эквивалентным
пучком
, где
и
—
квадратные неособенные матрицы порядков
и
(см.
гл. III, §§
2 и 4). Таким образом, критерий строгой эквивалентности дает характеристику
того класса пучков матриц
(размером
), которые
описывают один и тот же пучок операторов
, отображающих
в
,
при различных выборах базисов в этих пространствах.
Для получения канонической формы пучка
нужно найти те базисы в
и
, в которых пучок операторов
описывается
возможно более простой матрицей.
Поскольку пучок операторов задается двумя
операторами
и
, то можно еще сказать, что
настоящая глава посвящена одновременному изучению двух операторов
и
, отображающих
в
.
3. Все пучки матриц
размером
подразделяются на
два основных типа: на регулярные и сингулярные
пучки.
Определение 2. Пучок матриц
называется
регулярным, если 1)
и
—
квадратные матрицы одного и того же порядка
и 2)
определитель
не
равен тождественно нулю. Во всех остальных случаях (
или
,
но
)
пучок называется сингулярным.
Критерий
строгой эквивалентности, а также каноническая форма для регулярных пучков
матриц были установлены Вейерштрассом в 1867 г. [150] на основе его
теории элементарных делителей, изложенной нами в главах VI и VII. Аналогичные
вопросы для сингулярных пучков получили свое разрешение позже, в 1890 г., в
исследованиях Л. Кронекера [133].
Результаты Кронекера и составляют основное содержание этой главы.