§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы
Начнем с выяснения, какие ограничения на
элементарные делители накладывает ортогональность матрицы.
Теорема 9. 1. Если
- характеристическое
число ортогональной матрицы
и этому характеристическому числу
соответствуют элементарные делители
то
также
является характеристическом числом матрицы
и этому характеристическому числу
соответствуют такие же элементарные делители, как и числу
:
2. Если
является
характеристическим числом ортогональной матрицы
, то элементарные делители
четной степени, соответствующие этому характеристическому числу
,
повторяются четное число раз.
Доказательство. 1. Для любой
неособенной матрицы
при переходе от
к
каждый
элементарный делитель
заменяется элементарным делителем
. С другой стороны,
матрицы
и
всегда
имеют одни и те же элементарные делители. Поэтому из условия ортогональности
сразу
следует первая часть нашей теоремы.
2. Допустим, что число 1 является
характеристическим числом матрицы
, а число -1 не является таковым (
,
). Тогда
воспользуемся формулами Кэли (см. гл. IX, § 14), которые сохраняют свою силу
и для комплексных матриц. Определим матрицу
равенством
(76)
Непосредственной проверкой убеждаемся в
том, что
, т. е. что
-
кососимметрическая матрица. Разрешая уравнение (76) относительно
,
находим:
Полагая
, имеем
. Следовательно,
при переходе от матрицы
к матрице
элементарные
делители не расщепляются. Поэтому в системе элементарных делителей матрицы
элементарные
делители вида
повторяются
четное число раз, поскольку это имеет место для элементарных делителей вида
матрицы
(см. теорему 7).
Случай, когда ортогональная матрица
имеет
характеристическое число -1, но не имеет характеристического числа +1, сразу
сводится к разобранному случаю путем рассмотрения ортогональной матрицы
.
Переходим к наиболее сложному случаю,
когда матрица
одновременно
имеет характеристическое число +1 и характеристическое число -1. Обозначим
через
минимальный
многочлен матрицы
. Используя доказанную первую часть
теоремы, мы сможем записать
в виде
(
,
).
Рассмотрим многочлен
степени
[
- степень
], у которого
, а все
остальные
значений
на спектре матрицы
равны нулю, и положим:
(77)
Заметим, что
функции
и
принимают те же значения на
спектре матрицы
,
что и функция
.
Поэтому
,
(78)
т. е.
- симметрическая
проекционная матрица.
Определим
многочлен
и матрицу
равенствами
(79)
(80)
Поскольку степень
обращается в нуль на
спектре матрицы
,
эта степень делится на
без остатка. Отсюда следует:
,
т.
е.
-
нильпотентная матрица с индексом нильпотентности
.
Из
(80) находим:
(81)
Рассмотрим
матрицу
(82)
Из
(78), (80) и (81) следует:
Из этого
представления матрицы
видно, что
- кососимметрическая матрица.
С
другой стороны, из (82)
(
) (83)
Но
, как и
, — нильпотентная
матрица и, следовательно,
.
Поэтому из (83)
вытекает, что при любом
матрицы
и
имеют
один и тот же ранг.
Но при
нечетном
матрица
является
кососимметрической и потому (см. стр. 322) имеет четный ранг. Следовательно,
каждая из матриц
имеет четный ранг.
Поэтому, повторяя дословно для матрицы
рассуждения,
проведенные на стр. 322 — 323 для матрицы
, мы сможем утверждать, что среди
элементарных делителей матрицы
делители вида
повторяются четное
число раз. Но каждому элементарному делителю
матрицы
соответствует
элементарный делитель
матрицы
и наоборот. Отсюда следует, что среди
элементарных делителей матрицы
делители вида
повторяются четное
число раз.
Аналогичное утверждение для элементарных
делителей вида
мы
получим, применяя доказанное уже положение к матрице
.
Таким
образом, теорема доказана полностью.
Докажем теперь
обратную теорему
Теорема
10.
Любая система степеней вида
(84)
является
системой элементарных делителей некоторой комплексной ортогональной матрицы
.
Доказательство. Обозначим через
числа,
связанные с числами
равенствами
.
Введем в рассмотрение «канонические»
кососимметрические матрицы (см. предыдущий параграф)
имеющие соответственно элементарные
делители
если
-
кососимметрическая матрица, то
является
ортогональной (
).
При
этом каждому элементарному делителю
матрицы
отвечает
элементарный делитель
матрицы
.
Поэтому квазидиагональная матрица
(85)
является ортогональной и имеет
элементарные делители (84).
Теорема
доказана.
Из
теорем 4, 9 и 10 вытекает
Следствие. Произвольная (комплексная)
ортогональная матрица
всегда ортогонально-подобна
ортогональной матрице, имеющей нормальную форму
, т. е. существует такая ортогональная
матрица
что
(86)
Примечание. Подобно тому
как это было сделано для кососимметрической матрицы
, можно конкретизировать
форму диагональных клеток в нормальной форме
.