§ 7. Ортонормированный базис
Базис
любого конечномерного подпространства
в унитарном или евклидовом
пространстве
является
невырожденным рядом векторов и потому согласно теореме 2 предыдущего параграфа
может быть проортогонализирован и пронормирован. Таким образом, в любом
конечномерном подпространстве
(и, в частности, во всем пространстве
, если
оно конечномерно) существует ортонормированный базис.
Пусть
–
ортонормированный базис пространства
. Обозначим через
координаты произвольного
вектора
в
этом базисе:
.
Умножая
обе части этого равенства справа на
и учитывая ортонормированность
базиса, легко найдем:
,
т.
е. в ортонормированном базисе координата вектора равна скалярному произведению
его на соответствующий базисный орт
. (41)
Пусть
и
суть
соответственно координаты одного и того же вектора
в двух различных
ортонормированных базисах
и
унитарного пространства
. Формулы
преобразования координат имеют вид
. (42)
При
этом коэффициенты
, образующие
-й столбец матрицы
, являются, как
нетрудно видеть, координатами вектора
в базисе
. Поэтому, записывая в координатах
[см. (10)] условия ортонормированности базиса
, получим соотношения
(43)
Преобразование
(42), у которого коэффициенты удовлетворяют условию (43), называется унитарным,
а соответствующая матрица
– унитарной матрицей. Таким образом,
в
-мерном
унитарном пространстве переход от одного ортонормированного базиса к другому
ортонормированному осуществляется при помощи унитарного преобразования координат.
Пусть
дано
-мерное
евклидово пространство
. Переход от одного ортонормированного
базиса в
к
другому осуществляется при помощи преобразования координат
, (44)
коэффициенты
которого связаны между собой соотношениями
. (45)
Такое
преобразование координат называется ортогональным, а соответствующая матрица
– ортогональной
матрицей.
Отметим
интересную матричную запись процесса ортогонализации. Пусть
– произвольная неособенная
матрица
с
комплексными элементами. Рассмотрим унитарное пространство
с ортонормированным базисом
и
определим линейно независимые векторы
равенством
.
Подвергнем
векторы
процессу
ортогонализации. Полученный ортонормированный базис в
обозначим через
. Пусть при этом
.
Тогда
,
т.
е.
где
– некоторые
комплексные числа.
Полагая
при
, будем иметь
.
Переходя
здесь к координатам и вводя верхнюю треугольную матрицу
и унитарную матрицу
, получим:
,
или
. (*)
Согласно
этой формуле произвольная неособенная матрица
представима в виде произведения
унитарной матрицы
на верхнюю треугольную
.
Так
как процесс ортогонализации однозначно определяет векторы
с точностью до скалярных
множителей
, то в формуле множители
и
определяются
однозначно с точностью до диагонального множителя
:
.
В
этом можно убедиться и непосредственно.
Замечание
1. Если
–
вещественная матрица, то в формуле (*) множители
и
можно выбрать вещественными. В этом
случае
–
ортогональная матрица.
Замечание
2. Формула (*) сохраняет свою силу и для особенной матрицы
. В этом можно убедиться,
полагая
,
где
.
Тогда
. Выделяя из
последовательности
сходящуюся подпоследовательность
и переходя к
пределу, из равенства
при
, получим искомое разложение
. Однако в случае
множители
и
уже не
определяются однозначно с точностью до диагонального множителя
.
Замечание
3. Вместо (*) можно получить формулу
, (**)
где
– нижняя
треугольная, a
–
унитарная матрица. Действительно, применяя установленную ранее формулу (*) к
транспонированной матрице
и
полагая
,
получим (**).