ГЛАВА VI. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
Первые
три параграфа настоящей главы посвящены учению об эквивалентности многочленных
матриц. На основе этого в последующих трех параграфах строится аналитическая
теория элементарных делителей, т. е. теория приведения постоянной (немногочленнов)
квадратной матрицы
к нормальной форме
. В последних двух
параграфах главы даны два метода построения преобразующей матрицы
.
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы
Определение
1. Многочленной матрицей или
-матрицей называется прямоугольная
матрица
,
элементы которой суть многочлены от
:
;
здесь
–
наибольшая из степеней многочленов
.
Полагая
,
мы
можем представить многочленную матрицу
в виде матричного многочлена
относительно
,
т. е. в виде многочлена с матричными коэффициентами:
.
Введем
в рассмотрение следующие элементарные операции над многочленной матрицей
:
1.
Умножение какой-либо, например
-й, строки на число
.
2.
Прибавление к какой-либо, например
-й, строке другой, например
-й, строки,
предварительно умноженной на произвольный многочлен
.
3.
Перестановка местами любых двух строк, например
-й и
-й строк.
Предлагаем
читателю проверить, что операции 1, 2, 3 равносильны умножению многочленной
матрицы
слева
соответственно на следующие квадратные матрицы порядка
:
(1)
т.
е. в результате применения операций 1, 2, 3 матрица
преобразуется
соответственно в матрицы
,
,
. Поэтому операции типа 1, 2, 3
называются левыми элементарными операциями.
Совершенно
аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей
(эти операции производятся не над строками, а над столбцами многочленной
матрицы) и соответствующие им матрицы (порядка
):
В
результате применения правой элементарной операции матрица
умножается справа на
соответствующую матрицу
.
Матрицы
типа
(или,
что то же, типа
)
мы будем называть элементарными матрицами.
Определитель
любой элементарной матрицы не зависит от
и отличен от нуля. Поэтому для каждой
левой (правой) элементарной операции существует обратная операция, которая
также является левой (соответственно правой) элементарной операцией.
Определение
2. Две многочленные матрицы
и
называются 1) левоэквивалентными, 2)
правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если одна из них получается из другой
путем применения соответственно 1) левых элементарных операций, 2) правых
элементарных операций, 3) левых и правых элементарных операций.
Пусть
матрица
получается
из
при
помощи левых элементарных операций, соответствующих матрицам
. Тогда
. (2).
Обозначая
через
произведение
, мы
равенство (2) запишем в виде
, (3)
где
, как и
каждая из матриц
,
имеет отличный от нуля постоянный определитель.
В
следующем параграфе будет доказано, что каждая квадратная
-матрица
с постоянным отличным от
нуля определителем может быть представлена в виде произведения элементарных матриц.
Поэтому равенство (3) эквивалентно равенству (2) и потому означает левую
эквивалентность матриц
и
.
В
случае правой эквивалентности многочленных матриц
и
вместо равенства (3) будем иметь
равенство
, (3')
а
в случае (двусторонней) эквивалентности – равенство
. (3")
Здесь
опять
и
– матрицы с
отличными от нуля и не зависящими от
определителями.
Таким
образом, определение 2 можно заменить равносильным определением.
Определение
2'. Две прямоугольные
-матрицы
и
называются 1) левоэквивалентными, 2)
правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если соответственно
1)
, 2)
, 3)
,
где
и
– многочленные
квадратные матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями.
Все
введенные выше понятия проиллюстрируем на следующем важном примере.
Рассмотрим
систему
линейных
однородных дифференциальных уравнений
-го порядка с
неизвестными функциями
аргумента
с постоянными
коэффициентами:
(4)
здесь
–
многочлен относительно
с постоянными коэффициентами,
– оператор дифференцирования.
Матрица
операторных коэффициентов
является
многочленной матрицей или
-матрицей.
Очевидно,
что левая элементарная операция 1 над матрицей
означает почленное умножение
-гo дифференциального
уравнения системы на число
. Левая элементарная операция 2
означает почленное прибавление к
-му уравнению
-го уравнения,
предварительно подвергнутого дифференциальной операции
. Левая элементарная
операция 3 означает перестановку местами
-го и
-го уравнений.
Таким
образом, если в системе уравнении (4) матрицу операторных коэффициентов
заменить
левоэквивалентной ей матрицей
, то мы получим новую систему
уравнений. Поскольку, обратно, исходная система может быть получена из этой
системы при помощи аналогичных операций, то обе системы уравнений равносильные.
Нетрудно
проинтерпретировать на данном примере и правые элементарные операции. Первая из
этих операций означает введение вместо одной из неизвестных функций
новой неизвестной
функции
;
вторая элементарная операция означает введение новой неизвестной функции
(вместо
); третья операция
означает перемену местами в уравнениях членов, содержащих
и
(т. е.
).