§ 2. Регулярный пучок матриц
1.
Рассмотрим частный случай, когда пучки 
и 
состоят из квадратных матриц (
) и 
, 
. В
этом случае, как
было доказано в главе VI (стр. 140), два понятия «эквивалентность» и «строгая
эквивалентность» пучков совпадают. Поэтому, применяя к пучкам общий критерий
эквивалентности 
-матриц
(стр. 148), приходим к теореме:
Теорема 1. Два пучка
квадратных матриц одного и того же порядка и , у которых и , являются строго
эквивалентными в том и только в том случае, когда эти пучки имеют одни и те же
элементарные делители в поле 
.
Пучок
квадратных матриц
с в
главе VI называется регулярным, поскольку он представляет собой частный случай
регулярного матричного многочлена относительно (см. гл. IV, стр. 87). В предыдущем
параграфе настоящей главы мы дали более широкое определение регулярного пучка.
Согласно этому определению в регулярном пучке возможно равенство 
(и даже 
).
Для
того чтобы выяснить, сохранится ли теорема 1 для регулярных пучков (при
расширенном определении 1), рассмотрим следующий пример:
, 
(3)
Нетрудно видеть, что здесь каждый из
пучков и имеет только
один элементарный делитель 
. В то же время эти пучки не являются
строго эквивалентными, так как матрицы 
и 
имеют
соответственно ранги 2 и 1, а из равенства (2), если бы оно имело место,
следовало бы, что ранги матриц
и равны
между собой. При этом пучки (3) являются регулярными согласно определению 1,
так как
.
Разобранный
пример показывает, что теорема 1 неверна при расширенном определении регулярного
пучка.
2. Для того чтобы сохранить теорему 1,
нам придется ввести понятие о «бесконечных» элементарных делителях пучка.
Будем пучок задавать
при помощи «однородных» параметров 
. Тогда определитель 
будет однородной функцией от 
. Определяя
наибольший общий делитель 
всех миноров 
-го порядка матрицы 
, получим
инвариантные многочлены по известным формулам
;
при этом все и 
- однородные
относительно и
многочлены.
Разлагая инвариантные многочлены на степени неприводимых в поле однородных
многочленов, получим элементарные делители 
пучка в поле .
Совершенно
очевидно, что, полагая 
в , мы вернемся к элементарным делителям
пучка . Обратно, из
каждого элементарного делителя степени
пучка мы получим
соответствующий элементарный делитель по формуле
. Таким способом
могут быть получены все элементарные делители пучка за исключением элементарных
делителей вида 
.
Элементарные делители вида существуют в том и
только в том случае, когда , и носят название «бесконечных» элементарных
делителей для пучка .
Поскольку из строгой эквивалентности
пучков и следует строгая эквивалентность пучков и 
то у строго
эквивалентных пучков
и должны
совпадать не только «конечные», но и «бесконечные» элементарные делители.
Пусть теперь даны два регулярных пучка и , у которых
соответственно совпадают все (в том числе и бесконечные) элементарные
делители. Введем однородные параметры: , . Преобразуем параметры:
В
новых параметрах пучки запишутся так: 
, 
где 
, 
. Из регулярности пучков и вытекает, что
можно подобрать числа 
и 
так, чтобы 
и 
.
Поэтому согласно теореме 1 пучки и , а следовательно,
и исходные пучки и
(или, что
то же и ) строго
эквивалентны. Таким образом, мы пришли к следующему обобщению теоремы 1.
Теорема 2.
Для
того чтобы два регулярных пучка и
были строго
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же
(«конечные» и «бесконечные») элементарные делители.
В разобранном ранее примере пучки (3)
имели один и тот же «конечный» элементарный делитель , но отличались
«бесконечными» элементарными делителями (первый пучок имеет один «бесконечный»
элементарный делитель 
, а второй - два: ,). Поэтому эти пучки и не
оказались строго эквивалентными.
3. Пусть теперь дан произвольный
регулярный пучок
. Тогда существует
такое число 
,
что 
.
Данный пучок представим в виде 
, где 
и
потому 
.
Умножим пучок слева на 
. Преобразованием подобия приводим этот пучок к виду
(4)
где 
- квазидиагональная нормальная форма
матрицы 
, 
- жорданова
нильпотентная матрица, а 
.
Первый диагональный блок правой части
(4) умножим на
. Получим: 
. Здесь коэффициент
при -
нильпотентная матрица. Поэтому преобразованием подобия этот пучок можно
привести к виду
(5)
Второй диагональный блок в правой части
(4) умножением на 
, а затем преобразованием подобия
может быть приведен к виду
, где 
- матрица, имеющая
нормальную форму, а 
- единичная матрица. Мы пришли к
теореме
Теорема 3. Произвольный
регулярный пучок может
быть приведен к (строго эквивалентному) каноническому квазидиагональному виду
(6)
где
первые 
диагональных
блоков соответствуют бесконечным элементарным делителям 
пучка , а нормальная
форма последнего диагонального блока однозначно определяется конечными элементарными
делителями данного пучка.
