§ 2. Регулярный пучок матриц
1.
Рассмотрим частный случай, когда пучки
и
состоят из квадратных матриц (
) и
,
. В
этом случае, как
было доказано в главе VI (стр. 140), два понятия «эквивалентность» и «строгая
эквивалентность» пучков совпадают. Поэтому, применяя к пучкам общий критерий
эквивалентности
-матриц
(стр. 148), приходим к теореме:
Теорема 1. Два пучка
квадратных матриц одного и того же порядка
и
, у которых
и
, являются строго
эквивалентными в том и только в том случае, когда эти пучки имеют одни и те же
элементарные делители в поле
.
Пучок
квадратных матриц
с
в
главе VI называется регулярным, поскольку он представляет собой частный случай
регулярного матричного многочлена относительно
(см. гл. IV, стр. 87). В предыдущем
параграфе настоящей главы мы дали более широкое определение регулярного пучка.
Согласно этому определению в регулярном пучке возможно равенство
(и даже
).
Для
того чтобы выяснить, сохранится ли теорема 1 для регулярных пучков (при
расширенном определении 1), рассмотрим следующий пример:
,
(3)
Нетрудно видеть, что здесь каждый из
пучков
и
имеет только
один элементарный делитель
. В то же время эти пучки не являются
строго эквивалентными, так как матрицы
и
имеют
соответственно ранги 2 и 1, а из равенства (2), если бы оно имело место,
следовало бы, что ранги матриц
и
равны
между собой. При этом пучки (3) являются регулярными согласно определению 1,
так как
.
Разобранный
пример показывает, что теорема 1 неверна при расширенном определении регулярного
пучка.
2. Для того чтобы сохранить теорему 1,
нам придется ввести понятие о «бесконечных» элементарных делителях пучка.
Будем пучок
задавать
при помощи «однородных» параметров
. Тогда определитель
будет однородной функцией от
. Определяя
наибольший общий делитель
всех миноров
-го порядка матрицы
, получим
инвариантные многочлены по известным формулам
;
при этом все
и
- однородные
относительно
и
многочлены.
Разлагая инвариантные многочлены на степени неприводимых в поле
однородных
многочленов, получим элементарные делители
пучка
в поле
.
Совершенно
очевидно, что, полагая
в
, мы вернемся к элементарным делителям
пучка
. Обратно, из
каждого элементарного делителя
степени
пучка
мы получим
соответствующий элементарный делитель
по формуле
. Таким способом
могут быть получены все элементарные делители пучка
за исключением элементарных
делителей вида
.
Элементарные делители вида
существуют в том и
только в том случае, когда
, и носят название «бесконечных» элементарных
делителей для пучка
.
Поскольку из строгой эквивалентности
пучков
и
следует строгая эквивалентность пучков
и
то у строго
эквивалентных пучков
и
должны
совпадать не только «конечные», но и «бесконечные» элементарные делители.
Пусть теперь даны два регулярных пучка
и
, у которых
соответственно совпадают все (в том числе и бесконечные) элементарные
делители. Введем однородные параметры:
,
. Преобразуем параметры:
В
новых параметрах пучки запишутся так:
,
где
,
. Из регулярности пучков
и
вытекает, что
можно подобрать числа
и
так, чтобы
и
.
Поэтому согласно теореме 1 пучки
и
, а следовательно,
и исходные пучки
и
(или, что
то же
и
) строго
эквивалентны. Таким образом, мы пришли к следующему обобщению теоремы 1.
Теорема 2.
Для
того чтобы два регулярных пучка
и
были строго
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же
(«конечные» и «бесконечные») элементарные делители.
В разобранном ранее примере пучки (3)
имели один и тот же «конечный» элементарный делитель
, но отличались
«бесконечными» элементарными делителями (первый пучок имеет один «бесконечный»
элементарный делитель
, а второй - два:
,
). Поэтому эти пучки и не
оказались строго эквивалентными.
3. Пусть теперь дан произвольный
регулярный пучок
. Тогда существует
такое число
,
что
.
Данный пучок представим в виде
, где
и
потому
.
Умножим пучок слева на
. Преобразованием подобия приводим этот пучок к виду
(4)
где
- квазидиагональная нормальная форма
матрицы
,
- жорданова
нильпотентная матрица, а
.
Первый диагональный блок правой части
(4) умножим на
. Получим:
. Здесь коэффициент
при
-
нильпотентная матрица. Поэтому преобразованием подобия этот пучок можно
привести к виду
(5)
Второй диагональный блок в правой части
(4) умножением на
, а затем преобразованием подобия
может быть приведен к виду
, где
- матрица, имеющая
нормальную форму, а
- единичная матрица. Мы пришли к
теореме
Теорема 3. Произвольный
регулярный пучок
может
быть приведен к (строго эквивалентному) каноническому квазидиагональному виду
(6)
где
первые
диагональных
блоков соответствуют бесконечным элементарным делителям
пучка
, а нормальная
форма последнего диагонального блока
однозначно определяется конечными элементарными
делителями данного пучка.