§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-мерное
1. Рассмотрим
линейное преобразование
(8)
коэффициенты
которого принадлежат числовому полю
, и два векторных пространства над
этим полем:
-мерное
и
-мерное
. Выберем в
некоторый базис
и в
некоторый базис
.
Тогда
преобразование (8) относит каждому вектору
из
некоторый вектор
из
, т. е. преобразование (8)
определяет некоторый оператор
, относящий вектору
вектор
:
. Нетрудно видеть,
что этот оператор
обладает свойством линейности,
которое мы сформулируем так:
Определение 5.
Оператор
,
отображающий
в
т. е.
относящий каждому вектору
из
некоторый вектор
из
, называется линейным, если
для любых
,
из
и
из
,
. (9)
Таким образом,
преобразование (8) при заданных базисах в
и
определяет некоторый линейный
оператор, отображающий
в
.
Покажем теперь
обратное, т. е. что для произвольного линейного оператора
, отображающего
в
, и произвольных
базисов
в
и
в
существует такая прямоугольная
матрица с элементами из поля
, (10)
что составленное
при помощи этой матрицы линейное преобразование (1) выражает координаты
преобразованного вектора
через координаты исходного вектора
.
Действительно,
применим оператор
к базисному вектору
и координаты
полученного вектора
в базисе
обозначим через
:
. (11)
Помножая обе
части равенства (11) на
и суммируя в пределах от 1 до
получим:
,
откуда
,
где
,
что и
требовалось установить.
Таким образом,
при заданных базисах в
и
каждому линейному оператору
, отображающему
в
, отвечает
некоторая прямоугольная матрица (10) с размерами
, наоборот, каждой такой матрице
отвечает некоторый линейный оператор, отображающий
в
.
При этом в
матрице
отвечающей
оператору
,
-й
столбец состоит из последовательных координат вектора
(
).
Обозначим через
и
столбцы координат
векторов
и
. Тогда
векторному равенству
соответствует
матричное равенство
,
которое является
матричной записью преобразования (8).
Пример.
Рассмотрим
совокупность всех многочленов от
степени
с коэффициентами из числового поля
. Эта совокупность
представляет собой некоторое
-мерное векторное пространство
(см. пример 4 на
стр. 66). Точно так же многочлены от
степени
с коэффициентами из
образуют
пространство
.
Оператор
дифференцирования
относит каждому многочлену из
некоторый многочлен
из
. Таким
образом, этот оператор отображает
в
. Оператор дифференцирования
является линейным оператором, так как
,
.
В пространствах
и
выберем базисы
степеней
:
и
.
Пользуясь
формулой (11), построим прямоугольную матрицу размером
, соответствующую оператору
дифференцирования
в этих базисах:
.