§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители
1.
Обозначим через
наибольший
общий делитель всех миноров
-го порядка характеристической матрицы
. Так как в ряду
каждый
многочлен делится на последующий без остатка, то формулы
(50)
определяют
многочленов,
произведение которых равно характеристическому многочлену
. (51)
Многочлены
разложим на
неприводимые в поле
множители:
, (52)
где
–
различные неприводимые в поле
многочлены.
Многочлены
называются
инвариантными многочленами, а все степени, отличные от постоянной, среди
, называются
элементарными делителями характеристической матрицы
или просто матрицы
.
Произведение
всех элементарных делителей, как и произведение всех инвариантных многочленов,
равно характеристическому многочлену
.
Название
«инвариантные многочлены» оправдано тем, что две подобные матрицы
и
(53)
всегда
имеют одни и те же инвариантные многочлены
. (54)
Действительно,
из (53) следует:
. (55)
Отсюда
(см. гл. I, § 2) получаем соотношение между минорами подобных матриц
и
:
(56)
Это
равенство показывает, что каждый общий делитель всех миноров
-го порядка матрицы
является
общим делителем всех миноров
-го порядка матрицы
и наоборот
(поскольку матрицы
и
можно поменять местами). Отсюда
вытекает:
и, следовательно,
имеет место (54).
Поскольку
все матрицы, представляющие данный оператор
в различных базисах, подобны между
собой и потому имеют один и те же инвариантные многочлены и, следовательно,
одни и те же элементарные делители, то можно говорить об инвариантных
многочленах и элементарных делителях оператора
.
2.
Возьмем теперь в качестве
матрицу
, имеющую первую естественную
нормальную форму, и вычислим инвариантные многочлены матрицы
, исходя из вида
матрицы
(на
схеме (57) эта матрица выписана для случая
):
(57)
Пользуясь
теоремой Лапласа, найдем:
, (58)
Перейдем
к отысканию
.
Обратим внимание на минор элемента
. Этот минор с точностью до множителя
равен
. (59)
Мы
докажем, что этот минор
-го порядка будет делителем всех
прочих миноров
-го
порядка и что, следовательно,
. (60)
Для
этого возьмем сначала минор элемента, находящегося вне диагональных клеток, и
покажем, что такой минор равен нулю. Для получения этого минора нам придется из
матрицы (57) вычеркнуть одну строку и один столбец. Вычеркнутые линии в
рассматриваемом случае пересекут две разные диагональные клетки и,
следовательно, у каждой из этих двух клеток будет вычеркнуто по одной линии.
Пусть, например, у
-й диагональной клетки будет
вычеркнута одна из строк. Возьмем в миноре ту вертикальную полосу, в которой
содержится эта диагональная клетка. В этой полосе, имеющей
столбцов, все строки, за
исключением
строк,
будут состоять сплошь из нулей (здесь через
мы обозначили порядок матрицы
). Разлагая
рассматриваемый определитель
-го порядка на основании теоремы
Лапласа по минорам
-го порядка, содержащимся в указанной
полосе, мы и убедимся в том, что он равен нулю.
Возьмем
теперь минор элемента, находящегося внутри одной из диагональных клеток. В этом
случае вычеркиваемые линии «искалечат» только одну из диагональных клеток,
например
-ю,
и матрица минора снова будет квазидиагональной. Поэтому такой минор будет равен
, (61)
где
–
определитель «искалеченной»
-й диагональной клетки. В силу того,
что
делится
нацело на
, произведение
(61) разделится без остатка на произведение (59). Таким образом, равенство (60)
можно считать доказанным. Аналогичными рассуждениями получим:
(62)
Из
(58), (60) и (62) находим:
(63)
Формулы
(63) показывают, что многочлены
совпадают с отличными от единицы
инвариантными многочленами оператора
(либо соответствующей матрицы
). Но тогда
отличные от единицы
в разложении (39); совпадают с
элементарными делителями оператора
(либо соответствующей матрицы
). Поэтому задание
инвариантных многочленов, или, что то же, задание элементарных делителей в поле
,
однозначно определяет элементы нормальных форм
и
.
Ранее
было установлено, что две подобные матрицы имеют одни и те же инвариантные
многочлены. Пусть теперь, обратно, известно, что две матрицы
и
с элементами из
имеют одни и те же
инвариантные многочлены. Так как матрица
однозначно определяется заданием этих
многочленов, то обе матрицы
и
подобны одной и той же матрице
и, следовательно,
подобны между собой. Таким образом, приходим к следующему предложению:
Теорема
9. Для того чтобы две матрицы с элементами из
были подобны, необходимо и
достаточно, чтобы, у этих матриц были одни и те же инвариантные многочлены.
Характеристический
многочлен
оператора
совпадает
с
и
потому равен произведению всех инвариантных многочленов:
. (64);
Но
есть
минимальный многочлен всего пространства относительно
; значит,
и в силу (64)
. (65)
Таким
образом, мы попутно получили теорему Гамильтона–Кэли (см. гл. IV, § 3).