§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы
Введем
следующее определение.
Определение
9. Эрмитов оператор
называется неотрицательным, если для
любого вектора
из
,
и
положительно определенным, если для любого вектора
из
.
Если
задать вектор
его
координатами
в
произвольном ортонормированном базисе, то
, как легко видеть, представится в
виде эрмитовой формы от переменных
, причем неотрицательному
(соответственно положительно определенному) оператору будет отвечать
неотрицательная (соответственно положительно определенная) эрмитова форма (см.
§ 1).
Выберем
ортонормированный базис
из собственных векторов оператора
:
. (73)
Тогда,
полагая
,
будем иметь:
.
Отсюда
сразу следует внутренняя характеристика неотрицательного и положительно
определенного оператора:
Теорема
7. Эрмитов оператор тогда и только тогда является неотрицательным
(соответственно положительно определенным), если все его характеристические
числа неотрицательны (соответственно положительны).
Из
сказанного вытекает, что положительно определенный эрмитов оператор есть
неособенный неотрицательный эрмитов оператор.
Пусть
–
неотрицательный эрмитов оператор. Для него имеют место равенства (73) с
. Положим
и определим линейный
оператор
равенствами
. (74)
Тогда
будет
также неотрицательным оператором, причем
. (75)
Неотрицательный
эрмитов оператор
,
связанный с
равенством
(75), будем называть арифметическим корнем квадратным из оператора
и будем обозначать
так:
.
Если
–
положительно определенный оператор, то и
будет положительно определенным.
Определим
интерполяционный многочлен Лагранжа
равенствами
. (76)
Тогда
из (73), (74) и (76) следует
. (77)
Последнее
равенство показывает, что
является многочленом от
и однозначно
определяется заданием неотрицательного эрмитова оператора
(коэффициенты многочлена
зависят от
характеристических чисел оператора
).
Примерами
неотрицательных эрмитовых операторов являются операторы
и
, где
– произвольный линейный
оператор в данном пространстве. Действительно, при произвольном векторе
Если
оператор
неособенный,
то
и
– положительно
определенные эрмитовы операторы.
Операторы
и
мы будем называть
левым и правым модулями оператора
.
У
нормального оператора левый и правый модули равны между собой.