§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы

Введем следующее определение.

Определение 9. Эрмитов оператор  называется неотрицательным, если для любого вектора  из

,

и положительно определенным, если для любого вектора  из

.

Если задать вектор  его координатами  в произвольном ортонормированном базисе, то , как легко видеть, представится в виде эрмитовой формы от переменных , причем неотрицательному (соответственно положительно определенному) оператору будет отвечать неотрицательная (соответственно положительно определенная) эрмитова форма (см. § 1).

Выберем ортонормированный базис  из собственных векторов оператора :

.                   (73)

Тогда, полагая , будем иметь:

.

Отсюда сразу следует внутренняя характеристика неотрицательного и положительно определенного оператора:

Теорема 7. Эрмитов оператор тогда и только тогда является неотрицательным (соответственно положительно определенным), если все его характеристические числа неотрицательны (соответственно положительны).

Из сказанного вытекает, что положительно определенный эрмитов оператор есть неособенный неотрицательный эрмитов оператор.

Пусть  – неотрицательный эрмитов оператор. Для него имеют место равенства (73) с  . Положим   и определим линейный оператор  равенствами

.                      (74)

Тогда  будет также неотрицательным оператором, причем

.                    (75)

Неотрицательный эрмитов оператор , связанный с  равенством (75), будем называть арифметическим корнем квадратным из оператора  и будем обозначать так:

.

Если  – положительно определенный оператор, то и  будет положительно определенным.

Определим интерполяционный многочлен Лагранжа  равенствами

.                      (76)

Тогда из (73), (74) и (76) следует

.                (77)

Последнее равенство показывает, что  является многочленом от  и однозначно определяется заданием неотрицательного эрмитова оператора  (коэффициенты многочлена  зависят от характеристических чисел оператора ).

Примерами неотрицательных эрмитовых операторов являются операторы  и , где  – произвольный линейный оператор в данном пространстве. Действительно, при произвольном векторе

Если оператор  неособенный, то  и  – положительно определенные эрмитовы операторы.

Операторы  и  мы будем называть левым и правым модулями оператора .

У нормального оператора левый и правый модули равны между собой.